证明不等式的三种方法

周涛

证明不等式问题是高中数学各类试题中常见的题型.要正确解答该型题目，需要我们熟练掌握证明不等式的方法和技巧.本文总结了比较法、放缩法、換元法等三种证明不等式问题的基本方法，并结合例题来谈一谈运用这三种方法证明不等式问题的技巧.

一、比较法

比较法是解答不等式证明问题的常见方法，常见的有作差比较法和作商比较法.作差比较法是指通过作差，将所得的差与0作比较的方法;作商比较法是指通过作商，将所得的商与1作比较的方法.这两种方法较为相似，但有各自的特点和优势.

例1.已知

分析：该不等式中含有对数函数，可以考虑采用作差比较法，将不等式两边的式子作差，然后利用对数的运算法则，使问题获解.

证明：

令 ，则有

∵

∵  ，∴

即

例2，已知   ？

分析：面对底数相同的证明不等式问题，我们不妨试着采用作商比较法，利用指数幂的运算来证明.

证明：∵ ，

则有

当

当

综上所述，当   成立

在运用比较法证明不等式时，经常需要利用完全平方公式、因式分解、有理化等对不等式进行化简、变形.值得注意的是，在运用作商比较法证明问题时，要确保分母不为0，且分子、分母同号.

二、放缩法

有些证明不等式问题无法利用现有的公式得出结论，此时，我们可以考虑运用放缩法，灵活运用一些放缩不等式的结论和技巧来证明.但在放缩时，我们要注意把握放缩的程度.

例3.求证对一切 ，都有

分析：本题可以采用放缩法，利用二项式定理来证明结论.

证明：∵

∴

∵

∴

在运用放缩法证明不等式问题时，常用的放缩技巧有添项放缩、减项放缩、裂项放缩等.

三、换元法

在大多数情况下，合理使用换元法能降低证明不等式问题的难度，还能帮助我们提升解题的效率.常用的换元法有三角换元法、代数换元法和均值增量换元法.

例4.已知  求证 ？

证明：令

∵

∴

在证明不等式时，我们要善于联想和变换，尝试从不同的角度进行换元，这样才能拓宽解题的思路.

总之，证明不等式问题是高中数学中的基本题型，我们只有熟练掌握解答此类问题的方法和技巧，才能顺利解答这类问题.

（作者单位：江苏省启东市第一中学

）