巧妙构造函数，解答抽象函数不等式问题

周群林

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数.所以，抽象函数不等式问题是很多同学学习中的难点问题.在解答抽象函数不等式问题时，同学们要注意运用发散思维，展开想象，联系所学的知识点和已有的解题经验，从多个角度思考解题的方案.

例1.函数[f（x）]在定义域（0，+[∞]）内恒满足[：①f（x）>0，②2f（x）<xf ′（x）<3f（x） ，]其中[F′x]为的导数，则（       ）.

A.[14<f1f2<12 ] B.[116<f1f2<18]

C.[13<f1f2<12] D.[18<f1f2<14]

解析： 令[gx=fxx2，x∈0，+∞]，

则[g′x=xf ′x-2fxx3，]

因为 [∀x∈0，+∞，2fx<xf ′x<3fx ，]

所以[fx>0，g′x>0，]

所以函数[g（x）]在[x∈（0，+∞）]上单调递增，

所以[g1<g2 ，]即[4f1<f2，f1f2<14，]

令[hx=fxx3  ，  x∈0，+∞  ，]则[h′x=xf ′x-3fxx4   ，]

因为[∀x∈0 ，+∞ ，2fx<xf ′x<3fx ，]

则[h′x<0 ，]

所以函数[h（x）]在[x∈（0，+∞）]上单调递减，

所以[h1<h2 ，]即[f（1）>f（2）] ，[18<f（1）f（2）]，故选D.

本题主要考查了函数的导数与单调性的关系.解答本题的关键是根据题意，逆用求导公式构造恰当的函数，然后利用导数来确定函数的单调性，最后得出结论.

例2.已知定义在R上的可导函数[y=f（x）]的导函数为[f ′x]满足[f ′x<fx，]且[y=fx+1]为偶函数，[f2=1]，则不等式[fx<ex]的解集为（      ）.

解析：因为[y=fx+1]偶函数，所以[y=fx+1]的图象关于[x=0]对称，则[y=f（x）]的图象关于[x=1]对称，

所以[f2=f0，]又因为[f2=1，]所以[f0=1，]

设[gx=fxexx∈R   ，]则[g′（x）=f   ′xex-fxexex2-f   ′x-fxex，]

又因为[f ′x<fx，]所以[f ′x-fx<0，]

所以[g′x<0 ，]所以[y=gx]單调递减，

因为[fx<ex，]所以[fxex<1]，即[gx<1，]

又因为[g0=f0e0=1]，所以[x>0.]

本解法主要是根据函数的奇偶性构造出函数，从而得到抽象函数不等式的解集.同学们在解题的过程中，要善于建立题设中的条件与所求结论之间的关系，构造适当的函数，架起条件与所求结论之间的桥梁，使问题顺利获解.

例3.已知函数[f（x）]的定义域为R，其图象关于点（-1，0）中心对称，其导函数[f ′x ，当x<-1]时， [x+1fx+x+1f ′x<0]，则不等式[xfx-1>f0的解集为]（     ）.

解析：由题意设[gx=x+1fx ，]

则[g′x=fx+x+1f ′x ，]

因为当[x<-1时，x+1fx+x+1f ′x<0]，

所以当[x>-1时，fx+x+1f ′x>0]，则[g（x）]在（-∞，-1）上递增，其图象关于点（-1，0）中心对称，所以函数[f（x-1）]的图象关于点（0，0）中心对称，所以函数[f（x-1）]为奇函数，

令[hx=gx-1=xfx-1 ，]

所以[h（x）]是R上的偶函数，且在（-∞，0）上递增，

由偶函数的性质得，函数[h（x）]在（-∞，0）上递减，

由于[h1=f0 ，]

所以不等式[xf（x-1）>f0 ，]化为[h（x）>h（1）]，

解得[-1<x<1，]

故不等式的解集是（-1，1）.

在解答本题的过程中，我们根据函数的对称性来构造函数[g（x）]，再根据函数的奇偶性和对称性，得出抽象函数不等式的解.

虽然抽象函数不等式问题中的函数较为抽象，题目的难度较大，但是我们只要能仔细分析题意，联系所学的函数性质、图象、求导公式等，合理构造恰当的函数，问题便能迎刃而解.

（作者单位：江苏省扬州市高邮市临泽中学）