数学归纳法的应用与建议

纪定春 蒋红珠 王若飞

摘 要：数学归纳法是一种通过有限步骤来证明无限命题的一种数学方法.本文对数学归纳法的发展做了简介;列举了数学归纳法在数列通项、不等式、整除性、等式恒成立等问题中的应用.建议新课程标准修订时，将数学归纳法纳入高中数学必修内容.

关键词：数学归纳法;发展;应用;建议

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2020）10-0044-03

收稿日期：2020-01-05

作者简介：纪定春（1995-），男，四川省资阳人，研究生，从事高中数学教学研究.

蒋红珠（1996-），女，四川省内江人，研究生，从事高中数学教学研究.

王若飞（1996-），男，四川省巴中人，研究生，从事高中数学教学研究.

一、数学归纳法的发展及简介

数学归纳法是一种基本的数学证明方法，主要用于证明与正整数有关的一些数学命题，它是沟通特殊到一般、有限到无限的桥梁.数学归纳法的思想起源于毕达哥拉斯时代，从特殊的点子数出发，归纳出一般结论.欧几里得对素数有无穷的证明过程，充分地体现了数学归纳法中归纳递推的思想.13世纪末，法国数学家莱维·本·热尔松在证明排列组合问题时，用了现代意义下数学归纳法中的归纳奠基和归纳推理的思想，这标志数学归纳法逐渐走向成熟.帕斯卡在证明帕斯卡三角时，明确运用了现代意义上的数学归纳法的两个核心步骤，即归纳奠基和归纳推理两个步骤，这意味着数学归纳法证明的正式确立.意大利数学家皮亚诺发表了《算术原理新方法》，建立了自然数五条公理，数学归纳法有了理论依据，标志着数学归纳法走向成熟.随后，数学归纳法呈现多样化的发展，形成了不同类型的归纳法，如第二数学归纳法、跷跷板归纳法、倒推归纳法、跳跃归纳法、累积归纳法、无穷归纳法、区间归纳法等.接下来将介绍第一数学归纳法（以下均简称：数学归纳法）及其应用.

数学归纳法：

假设命题P（n）是关于正整数n的命题，如果P（n）满足：（1）命题P（1）为真.（2）假设命题P（k）为真，证明命题P（k+1）为真.由命题（1）、（2）为真，则对正整数n，都有命题P（n）成立.

验证命题P（1）为真，称为归纳奠基;通过假设命题题P（k）为真，证明命题P（k+1）为真，称为归纳递推（归纳推理）;最后步骤为下结论.

二、数学归纳法的应用

1.求证数列通项中的应用

例1 （2014年广东高考数学卷）设数列an的前面的n项和为Sn，关系为Sn=2nan+1-3n2-4n，n∈N*，且S3=15.（1）求a1，a2，a3的值;（2）求数列an的通项公式.

解析 对问题（1），由于数列Sn，满足Sn=2nan+1-3n2-4n.容易得a1=3，a2=5，a3=7.

对问题（2），由问题（1）中a1，a2，a3值，猜数列an通项为：an=2n+1.

现在用数学归纳法来证明以上的猜想.

（1）当n=1时，显然结论成立.

（2）假设当n=k时结论成立，即ak=2k+1，前k项和为Sk=3+5+…+（2k+1）=k（k+2）.

由数列Sk满足Sk=2kak+1-3k2-4k.

则k（k+2）=2kak+1-3k2-4k，整理可得ak+1=2k+3.

即ak+1=2（k+1）+1，所以当n=k+1时成立.

由（1）和（2），对任意的n∈N*，有an=2n+1.

故数列an通项为an=2n+1.

评注 该试题的第二个问题，巧用问题（1）的结果，先猜测出数列的通项相公式，然后再证明猜想，充分体现了“先猜后证”的思维模式，在数学史上很多数学结论的发现，往往就是建立在已有的知识基础上，利用先猜想后证明的方式进行的.

2.證明不等式中的应用

例2 （2019年浙江高考数学卷第20题）设等差数列an的前n项和为Sn，a3=4，a4=S3，数列bn满足：对每个n∈N*，Sn+bn，Sn+1+bn，Sn+2+bn成等比数列.

（1）求数列an，bn的通项公式;

（2）记cn=an2bn，n∈N*，证明：c1+c2+…+cn<2n，n∈N*.

解析 问题（1），解答过程略.利用等差数列和等比数列的知识点及上述的关系式可得，数列an=2n-2，bn=n2+n，其中n∈N*.

对于问题（2），将问题（1）中数列an、bn的通项公式代入数列{cn}可得：cn=an2bn=2n-22n（n+1）=n-1n（n+1），其中n∈N*.

显然这个不等式是关于正整数n的命题，考虑用数学归纳法证明.

（1）当n=1时，有c1=0<2，显然不等式成立.

（2）假设n=k（其中k∈N*）时不等式成立，即c1+c2+…+ck<2k.

当n=k+1时，有ck+1=k（k+1）（k+2）.由假设可知c1+c2+…+ck+ck+1<2k+k（k+1）（k+2）<2k+kk（k+1）=2k+1k+1=2k+22k+1=2k+2k+1+k+1<2k+2k+1+k=2k+2（k+1-k）=2k+1.

即当n=k+1时，不等式成立.

由（1）和（2）可知，对于任意的n∈N*，有不等式c1+c2+…+cn<2n成立.

评注 该试题从直接法不容易解决，又注意到需要求证的命题为一个关于正整数n的命题，自然想到使用数学归纳法.

例3 （2014安徽高考数学理科卷第21题）设c>0，整数p>1，p∈N*.（1）证明：当x>-1且x≠0时，有（1+x）p>1+px;（2）略.

证明 问题（1）是关于正整数p的命题，考虑使用数学归纳法.①当p=2时，有（1+x）2=1+2x+x2.当x>-1且x≠0，有x2>0，故（1+x）2>1+2x成立.②假设当p=k（k≥2）时，命题（1+x）k>1+kx成立.由假设可得（1+x）k+1=（1+x）k（1+x）>（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx2.因为kx2>0，所以（1+x）k+1>1+（k+1）x.故当p=k+1时命题成立.

由①和②知，对于任意的整数p>1，p∈N*，当x>-1且x≠0时，有不等式（1+x）p>1+px成立.

评注 该试题的解法除了数学归纳法之外还有其它方法，如二项式展开、伯努利不等式.解决该问题的关键在于巧用“（1+x）k+1”的变形，然后根据假设的不等式进行放缩.

3.证明整除性中的应用

例4 证明：当n∈N*时，11n+2+122n+1能够被133整除.

证明 这是一个关于正整数n的整除性命题问题，考虑使用数学归纳法.

（1）当n=1时，11n+2+122n+1=113+123=（11+12）（112-11·12+122）=23×133.则当n=1时，能被133整除.

（2）假设当n=k时，11k+2+122k+1能够被133整除.

当n=k+1时，有11n+2+122n+1=11k+3+122k+3，采用“配凑法”变形可得11k+3+122k+3=133×122k+1+11×（11k+2+122k+1）.

其中133×122k+1能够被133整除.

由假设可知11k+2+122k+1能够被133整除，故11×（11k+2+122k+1）被133整除.

因此当n=k+1时，11n+2+122n+1=11k+3+122k+3能被133整除.

由（1）和（2）可知，对任意的n∈N*，11n+2+122n+1能被133整除.

评注 解决该整除性命题的关键在于巧妙运用“配凑法”，将“11k+3+122k+3”与“11k+2+122k+1”建立联系，再由假设可以证当n=k+1时命题成立.

4.证明恒等式中的应用

例5 证明：对任意的n∈N*时，有等式∑ni=1i2（2i-1）（2i+1）=n（n+1）4n+2成立.

证明 （1）当n=1时，等式左边等于13，右边等于13，故当n=1时等式成立.

（2）假设当n=k时，有等式∑ki=1i2（2i-1）（2i+1）=k（k+1）4k+2成立.

需证，当n=k+1时，等式∑ki=1i2（2i-1）（2i+1）+（k+1）2[2（k+1）-1][2（k+1）+1]=（k+1）[（k+1）+1]4（k+1）+2成立.

由于k（k+1）4k+2+（k+1）2[2（k+1）-1][2（k+1）+1]=k2+3k+22（2k+3）=（k+1）[（k+1）+1]4（k+1）+2.

故当n=k+1时，等式成立.

由（1）和（2）可知，对所有n∈N*，有等式∑ni=1i2（2i-1）（2i+1）=n（n+1）4n+2成立.

评注 该试题的思路可以归结为：观察→试算→猜想→验证（证明）.这一步的推理过程是需要进行严密的逻辑推理的.经过了观察、试算、猜想，并不能够说明猜想的结果是正确的，这时需要用数学归纳法进行验证.

三、建议

在最近的几次课程改革中，数学归纳法一直不被重视，以前高考要考，老师要教，现在的高考数学对数学归纳法已经不作要求，很多高中老师已不讲，甚至不提数学归纳法，显然是对数学归纳法的重要性认识还不够，也是对人类智慧结晶的损失.数学归纳法是一种重要的数学证明方法，建议将数学归纳法的內容纳入高中数学必修内容.原因如下，其一，数学家庞加莱和华罗庚先生都十分地推崇数学归纳法;其二，数学归纳法作为人类智慧的结晶，是在历经了千年的发展中逐渐成熟和丰富的，是人类从有限证明向无限证明的飞跃，是人类认识无限的光辉范例;其三，数学归纳法是发展的，具有强劲的生长力，通过数学归纳法可以派生出很多其它类型的归纳法，因此可以认为数学归纳法是其它归纳法的“母本”;其四，高等数学中常常用数学归纳法来证明关于自然数的无限命题，以《高等代数（第四版）》（北大数学系前代数小组编）为例，使用数学归纳法证明定理、例题（不含课后习题）高达18次，足见数学归纳法在高等数学中的重要地位;其五，发达国家对数学归纳法的要求较高，且普遍高于我国的要求，如日本、美国等.其六，数学归纳法蕴含丰富的文化内涵，是文化育人的好素材.最后，数学归纳法在高中阶段是可教的、可学的，有很多优秀的教学案例可以帮助教师的教和学生的学习.因此，建议在下一次修订高中数学课程标准时，将数学归纳法纳入必修内容.

参考文献：

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[责任编辑：李 璟]