高中数学三角函数中最值问题研究

李耀珍

摘 要：正三角函数的最值问题是学习三角函数的难点之一，也是高中数学中重点学习的项目。本文将针对历年高考考查的三角函数热点问题进行研究探讨，整理出一些对于三角函数求最值问题最常见、最直接的做法。希望这次的例谈三角函数中的最值问题的几种常见类型能够给大家的高中数学学习带来一些帮助。

关键词：三角函数;求最值;最值问题;二次函数;常见类型

一、三角函数中常见的最值问题分析

三角函数的最值问题是高中数学中有关三角函数问题中最常见的一类，也是比较复杂多变的一类，根据这类题型演变出来的题目很多，但其实质上是对含有三角函数的复合函数的求值。在解答三角函数最值为题时，只要记住这是一个二次函数，然后融合在各种复杂环境下，做出复合函数的基本求解动作就可以。遇到任何问题不能乱糟糟的去看，而是要透过现象看本质，一步一步将题目拆解，完成解答。这也是数学思维的本质。

1.y=asinx+b型分析

y=asinx+b型也是最常见的一种，简单应对起来也比较轻松，大部分的学生还是可以在这里得分的。在做题解答的策略上也没有特别疑难的地方。据分析只要设t=sinx，化为求一次函数y=at+b在闭区间[-1，1]上的最值。这样就可以将其转化为常规的三角函数提醒，利用已学的一些公式一步步划分计算，最后得到答案。不管是什么样的求函数只要一步步划分，总是能够最终得解的，例如求y=-3sinx+2的最值。也是这种解法。笔者在研究三角函数多种求最值的问题时，经常会遇到这类题型，其解法也较为一致，令t=s作一归纳就能顺利完成解题。最值问题遇上二次函数，本身就会将问题复杂化，只要我们耐心梳理，总能够看透本质，解答出来。

2.y=asinx+bcosx+c型分析

如果大家能够按照数学老师平时解题的习惯，将每次遇到的三角函数都分门别类的记录总结下来，这对大家的学习是有很大帮助的。三角函数本身就是一种将基础知识综合应用的提醒。在生活中也经常会出现，因此近几年高考题中三角函数的出现常常伴随着生活类的题目。大家在解答时要习惯性的建模，这样有利于问题的顺利解答。此类求最值的问题也经常出现在生活类的解答题中，根据题目的要求自行建立三角函数。建立的函数大多数都是这种y=asinx+bcosx+c型，其解法主要是通過三角函数恒等变形，利用已经学过的公式将这些函数转化，使其划分的更为简单，然后借助于它的特性来解决最值问题。

二、三角函数中常见的最值问题解答归纳

将函数关系式化为一个角的一种函数形式就是我们中学课本中所说的三角函数，而生活中展现出来的三角函数模型也很多。笔者在探讨三角函数最值问题解答方法的时候发现最常用来解答归纳的行为就是借助于三角函数建模。由此看来，建立模型是解决三角函数特殊性质的最佳方法。下面笔者就将整理归纳的一些三角函数类型与解法举例说明。

1.y=asinx-asinx·cosx+a+b的解答归纳

例1，已知函数（x）=2asinf2x-23asinx·cosx+a+b（a0）的定义域为[0，2]，值域为[-5，1]，求常数a、b的值。

前面提到过关于y=asinx+bcosx+c型的分析过程，针对y=asinx-asinx·cosx+a+b的解答归纳其实也很好判别。三角函数一般都是利用其求最值，这也是尤其特殊的函数性质所决定的。在本题的解答过程中，只要牢牢记住简化、归纳的本质方法就行，利用已经学过的公式将函数化为一个角的一种函数的形式。这样就能够大幅度的简化该函数的难易程度，将复杂、看不清思路的函数题简化成最普通的三角函数。例如本题通过降次之后再加上逆用二倍角公式就可以形成三角函数中的基本函数，也就是高中数学课本上最初出现的y=asinx+bcosx+c型的函数，这样大家面对着这样的简单模型函数应该就知道该如何下手解答了。

2.y=asinx2+bsinx+c的解答归纳

例2，求函数f（x）=2-4asinx-cos2x的最大值和最小值。

三角函数求最值的方法不少，其中最常用的还是利用二次函数闭区间上的特性。在高中课本中出现的最值问题上，多次使用的解答方法都是利用定义域和闭区间上模型归纳。由此可见，无论函数是怎样的形式出现，都是一个二次函数，这个是改变不了的。常见类型的解答归纳都可以从这道例题上来总结出。在解答时可以化为以sinx为自变量的二次函数，这样就能在复杂的函数变化中画出一块最简单、有效的定义域区间，然后将二次函数的模型图画出来。利用这个球最值得最基本法则将函数值求解出来。对于三角函数的最值问题求解归纳，应引起师生充分的重视。只有将这块掌握好，才能够巩固牢固三角函数方面的数学问题。

结论：作为正三角函数中最为重要的难点问题之一，三角函数求最值问题是必须要攻克的。本文在研究过程中查证了不少例题，上述文章也罗列了一些例题的统一归纳解法。希望各位师生可以针对历年高考考查的三角函数热点问题进行巩固研究，牢牢掌握三角函数求最值问题最常见、最直接的做法。希望笔者的例谈三角函数中的最值问题能够给大家的高中数学学习带来一些帮助。

参考文献

[1]郑德印;Riemann-Zeta函数的超几何级数方法和组合恒等式[D];大连理工大学;2006年

[2]沈秋生;重视培养学生“数字计算”的能力[J];江苏教育;1980年03期