新课标下对“二次函数解析式的确定”一课的分析与思考

刘习

摘要：在初中数学教学中，函数占据了半边天地，函数中蕴含了丰富的数形结合的思想以及建模思想，与高中知识点有着密切的联系。在用函数解决问题时，首先要能通过各种情境求解出函数的解析式，本文通过对一节《二次函数表达式的确定》公开课的情景再现与分析，为广大初中数学教师提供思路与参考。

关键词：二次函数;案例分析;初中数学

近日有幸在安徽省合肥市包河区某研讨会上听了由一位年轻老师执教的“二次函数表达式的确定”一课，略有感悟，下面笔者将结合《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）对本节课进行简要分析并提出一些建议与思考。

一、教学内容分析

《二次函数表达式的确定》一课是建立在学生已经学习过了二次函数图像与性质，已经掌握了其一般式和顶点式表达方式的基础上进行的，在《课标》中只作为选学内容要求“知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数”[1]。在实际的教学中，通过图像或者已知条件确定函数表达式这部分内容有着举足轻重的作用，这不仅考查学生对前面“由形到数”学习的逆向思考的能力，也为后面探究二次函数与一元二次方程的关系奠定了基础，更能让学生更好的感受数形结合的思想。

二、课堂回顾及分析

由于本课无课堂实录，故笔者只呈现部分过程

（一）利用信息技术，让冰冷的公式充满活力

师：问题1：（在几何画板中出示抛物线y=x2-2x-3）从图像中我们能获得哪些信息？

问题2：如果表达式中的a、b确定，改变c的大小，图像有哪些特征改变或不变？请同学们相互交流，说一说你们的发现。

问题3：若a、c不变，改变b值，图像特征有何异同？b、c不变，改变a值，有何异同？（进行动态演示）

（1）过程分析

《课标》在“课程基本理念“中指出“数学课程的设计与实施应根据实际情况合理的运用现代信息技术，要注意信息技术与课程内容的整合，注重实效。执教者在该课的开始就运用几何画板，用控制变量的方法，让学生感受二次函数变与不变的动态过程，给冰冷、枯燥的解析式注入了生命。

（2）意见及建议

由于本节课的教学重点是使学生通过已知信息用最合适的方法确定解析式，为了明确教学重点以及使学生更好的理解，可以将第一环节动态图形的展示放在第二環节探究用待定系数法确定解析式的教学之后，并且缩短此部分展示时间，为后面课堂练习以及学生展示留有充足的时间。

（二）集思广益，让学生站在课堂中心

师：为了探究解析式如何确定，先从最简单的y=ax2开始探究

问题1：想要确定此解析式，我们需要知道什么条件呢？思考一下，谁能编一道题吗？

问题2：解析式y=ax2+k、y=a（x+h）2、y=（x+h）2+k的确定需要知道什么条件？请分别也编一道题。

（1）过程分析

《课标》在“课程基本理念“中指出“教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程，学生是学习的主体。在本环节中，让学生尝试编题这一教学活动体现了师生互动、以学生为主体的思想，学生在思考过程中，会出现各种创造性思维，每个学生根据自己的理解进行简单的题目编制，能够锻炼其思维能力，且通过主动获得的知识对学生来说也会更加深刻。

（2）意见及建议

九年级的学生虽然已经有了一定的建模思想和数形结合的思想，但是直接编制题目对他们来说还是有一定难度的，这在本节课堂上也有所体现，学生沉默时间较长，因此教师在设置此环节时，可以先带学生回顾一次函数解析式确定的过程，从而引入二次函数的教学，在探究y=ax2时可以通过一个例题来呈现，后面再把时间充分留给学生，保证本节课教学目标更好的完成。

（三）一表多用，让重难点的解决水到渠成

师：（出示表格）

x -2 -1 0 1 2 3 4 ···

y 5 0 -3 -4 -3 0 5 …

问题1：求此二次函数的顶底坐标及其解析式

师：求解析式，我们首先就要设解析式，可设为y=ax2+bx+c，在表格中任意找出三点代入解析式，就能解出a、b、c的值，最后再代回即可。

师：从表格中我们还能获得哪些信息？能用更简单的办法求出解析式吗？

生1：（举手）能找到其顶点的坐标，可以设顶点式。（板演）

师：除了找到顶点设顶点式，还有其他方法吗？（生1板演时提问）

生2：（举手）还能找到函数与x轴的交点坐标，可设交点式。（板演）

师：以上我们共用了三种方法求出了解析式，回顾我们的解题过程，主要包括以下几个环节：设-代-解-代回。

问题2：若此函数图像与y=x-3交于A、B两点，求△ABC的面积

师：同学们思考一下，这一问该怎么做？

生：（举手）作点C在x轴的垂线交直线于N，S△ABC=S△CAN+S△CBN（水平宽，铅垂高）

师：方法很好，还有另外一种做法，割补法。从C点往y轴做垂线交于P，得到直角梯形OBCP，S△ABC等于直角梯形面积减去两个直角三角形的面积。两种方法都可以。

（1）过程分析

《课标》中指出：发展学生的数据分析观念，要了解对于同样的数据可以多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法。在第一问求解析式的问题中，执教者把本节课的重难点融合成了一个表格，用表格的形式呈现出函数的特点，一表多用，使复杂问题简单化。学生通过对表格数据的观察分析，用不同的方法解决问题，此设计能够锻炼学生的观察能力、分析和解决问题的能力，同时也能让学生感受数学中一题多解的妙处。第二个问题的设置能够考查学生对知识的综合应用能力。

（2）意见及建议

首先，第二个学生用交点式解决问题时，由于教材上并未出现交点式的具体教学，这属于课堂的生成性资源，教师可以以此为节点，追问学生是如何想到此方法，并对全班进行规范性讲解，这既能给学生展现机会，提升其数学自信，又符合《课标》中教学面向全体学生的要求。其次，在处理第二个问题时，教师大可把机会充分留给学生，让学生思考回答不同的方法，效果或许会更佳。

（四）有始有终，让问题贯穿课堂教学

师：请同学们回顾一下，本节课我们学到了什么？

生：可以根据实际情况，用一般式、顶点式和交点式确定解析式。

师：课堂最后，留一个问题给大家思考：若P为AB（二次函数图像）上的动点，当S△PAB面积的最大时，P点的坐标为多少？

分析：让学生进行课堂小结是巩固课堂所学知识加深学生对知识印象的很好的办法，同时也能锻炼学生的语言表达能力以及总结能力。一节好课的开始是问题，结尾也应当留下若干问题[2]。在课堂最后，执教者给学生留下具有一定难度的数学问题，不仅能够加强学生自主学习的意识，也能够让不同水平的学生得到不同的发展，这也符合《课标》理念中要求教师要因材施教的要求。

三、结束语

二次函数是中考中的重要题型，学生只有学会从题干中提取关键信息确定二次函数的解析式，才能够继续探究其特征和性质进行解题，在本节课中，执教者突破教材的束缚，进行了一节充满创新与活力的课堂，当然，在本节课的教学环节中也有值得商榷的地方，这需要每一个教师结合自身情况以及学生情况情况进行参考与反思。

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]化劼.问题引领促思考，追根溯源话正切[J].中学数学教学参考，2019（29）：15-16.

注：本文是合肥师范学院研究生创新基金：“HPM视角下极限教学设计研究院”的研究成果之一（项目编号2020yjs036）