构建反比例数模 把握物理量关系

周雪夏

摘 要：物理学中很多物理量之间的变化是反比例关系，分析解决物理问题要充分运用反比例知识.从物理问题抽象出数学函数模型，利用数据或图像的方法理解函数关系，从而寻找到物理量之间的反比例关系.

关键词：物理量;反比例;函数模型;数据图像

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2020）23-0048-02

例题 利用一根吸管制作一个简易密度计.

（1）为了让饮料吸管能竖直的漂浮在液体中，应在吸管的（上端/下端）塞入一些铜丝作为配重，并用石蜡将吸管的下端封闭起来.若将它放入液体中后不能竖直漂浮，请提出改进做法.

（2）这根吸管竖直漂浮在不同液体中时，液体的密度越大，它露出液面部分的长度（越长/越短/不变），受到的浮力大小（变大/变小/不变）

（3）通过正确计算，在吸管上标出对应的刻度线，便制成了一个简易的吸管密度计.下列四种刻度的标示合理的是（ ）

本题（3）的难点是数学知识反比例关系在物理中的应用.下面就反比例关系的教学谈一下我的做法.

一、构建数学模型，加深函数关系的印象

1.关系公式化

两个相关联的量，一个量变化（增大或缩小），另一个量也随着变化（缩小或增大），并且这两个量相对应的两个数的乘积一定，则这两个量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系.如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积，反比例关系可以用下面函数关系式表示：xy=k（k为常数，k≠0，x≠0，y≠0）.

2.图像印象法

反比例函数xy=k （k为常数，k≠0，x≠0，y≠0），x的取值范围是不等于0的一切实数，且y也不能等于0.其图像是由以原点为对称中心的两支曲线组成，称它们为双曲线.这两支曲线都与x轴、y轴不相交.k>0时，图像在一、三象限，并且在每一个象限内，函数值随自变量的增大而减小.k<0时，图象在二、四象限，并且在每一个象限内，函数值随自变量的增大而增大.如下图1.

二、转化物理问题，形成数学的数量关系

1.公式数据化

例如利用速度公式v=s/t得，vt=s.结合数学的反比例函数式，当路程一定，时间和速度成反比例關系.数据如下表1.

进一步寻找时间和速度的变化规律，从下表数据可看出当速度v每增加10 km/h，时间t的减小量不相同，分别为2、1、0.6、0.4cm是逐渐减小的.即当速度的增加量相同时，时间的减小量不断的变小.数据如下表2：

2.数据图像化

用坐标系x轴和y轴分别表示速度和时间，图像是一条曲线，如图2.曲线一端无限靠近y轴，但不与y轴相交;曲线另一端无限靠近x轴，但不与x轴相交，即速度无限小时，时间无限大;速度无限大时，时间无限小.图中从左往右看，速度的增加量相同时，时间的减小量逐渐减小.

例题中第三小题，判断密度计上的刻度分布情况也可以用以上两种方法.

方法一：推导函数关系式分析.先推导出H与ρ的函数关系式，ρgSH=mg，即ρH=m/S（式中ρ表示液体的密度，H表示密度计浸入的深度，m表示密度计的质量，S表示密度计的横截面积），因m/S是个定值，ρ和H成反比例关系.列举数据分析.（如表3、表4，表中数据为编造，只用于反映规律）

从数据看，当液体密度ρ每增加0.1 g/cm3

时，密度计浸入的深度H的减小量不相同，分别为1.00、0.80、0.65、0.55cm是逐渐减小的.

方法二：结合图像分析.如图3，图像从左往右看，液体密度的增加量相同时，密度计浸入的深度的减小量逐渐减小.因此越往下，密度计的刻度值越大，且相邻刻度线的间隔越小.

三、注重分析，渗透数形结合的思想

解答物理题目，借助数形结合的方式，能够使题目中的物理量关系更加明确和清楚;建立正确的函数关系，简化题目，加快解题速度.在初中物理教学中，渗透数形结合的思想，使学生的物理思想更丰富，有利于学习能力的提高.

参考文献：

[1]董倩玉.巧用函数与方程思想解决物理问题[J].数理化解题研究，2018（34）：50-51.

[2]康健.物理教学中渗透数学思想方法的探究[J].中学物理教学参考，2017（10）：12-13.

[3]杨培军，王鹏，白文倩.函数和方程思想在物理中的应用[J].物理教学，2016（10）：57-59.

[责任编辑：李 璟]