不变的“尾巴”

薛慧珠

提起大名鼎鼎的“雷霆数”，大家应该不会陌生.比如：452 = 2025，把2025从中一分为二得到20和25，而20 + 25 = 45，又还原成平方数的底数;再比如：552 = 3025，把3025从中一分为二得到30和25，而30 + 25 = 55，仍还原成平方数的底数. 在此不一一枚举.

现在的问题是：计算[a52]有没有快捷的方法？回答是肯定的，先写25，然后用a × （a + 1），得到的积放在25之前，就是平方数的结果. 比如652，先写25，再计算6 × 7 = 42，结果就是4225;再比如852，先写25，再计算8 × 9 = 72，结果就是7225.

其中的数学原理是：[a52] = （a × 10 + 5）2 = a2 × 100 + 100a + 25 = （a2 + a） × 100 + 25 = a × （a + 1） × 100 + 25.

瞧出来了吗？速算的方法只不过是等式右边的通俗说法而已，挺别出心裁吧！如果你已经领会理解，那么请回答：[a25200]的末两位数字是什么？相信大多数人都会脱口而出“25”，事实的确如此，根据上面的结论简单递推就能断定.

[a252]可以看作[A52]，不管前面的A如何变化，对末尾的25并无影响，即[A5][2]末两位数字是25;而[A5][200] = （[A5][2]）100，类似的100次连续变化不会影响末两位数字，即[a25200]末两位数字仍是25. 而更一般的结论是：[a25] × [b25]的末两位数字是25.

数学原理是：[a25] × [b25] = （100a + 25）（100b + 25） = 10000ab + 2500a + 2500b + 625 = 10000ab + 2500a + 2500b + 600 + 25 =  （100ab + 25a + 25b + 6） × 100 + 25，乘积的末两位数字显然是25.

无独有偶，美国第一任总统华盛顿于1776年宣布建国，1976年是建国200周年. 某中学的宣传栏中出现了一道应时应景的趣题：1776200的最后两位数字是什么？学生汤姆看到脱口而出：“这简单，还是76！”

其他同学有些纳闷，问其究竟，汤姆笑着解释：762 = 5776，末两位数字仍是76，没有发生变化，这种数在数学上称为“自守数”，取自乘（平方）后还能保守着某些原本特征之意. 了解这个前提，就能判断[A762]末两位数字仍为76.

数学原理是：[A762]=（A × 100 + 76）2 = A2 × 10000 + 15200A + 762 = （A2 × 100 + 152A） × 100 + 5776 = （A2 × 100 + 152A + 57） × 100 + 76.

不难看出，[A76]平方数的末两位数字就是762的末两位数字，仍然是76. [A76][200]= （[A76]2）100，类似的100次连续变化显然不会影响最后的两位数，即[A76200]最后两位数字依旧是76，1776200当然也不例外. 而更一般的結论是：[a76] × [b76]的末两位数字是76. 数学解释并不复杂：[a76] × [b76] = （100a + 76）（100b + 76） = 10000ab + 7600a + 7600b + 5776 = 10000ab + 7600a + 7600b + 5700 + 76 = （100ab + 76a + 76b + 57） × 100 + 76，乘积的末两位数字显然是76.

怎么样？从25到25，从76到76，变化之中保持本色，是不是让你印象深刻？同学们对不变的“尾巴”中的数学缘由要做到心中有数哟！