初中数学中的几种分类讨论情况

栗雁

摘  要：每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。

关键词：分类讨论;取值范围

近些年，中考数学中分类讨论的试题常常被用来加大试卷的区分度。这类试题不仅考查了我们的基础知识和方法，更反映了我们思维的严谨程度。很多同学在这类问题上由于考虑不够全面导致频频失误。

那么到底该如何进行分类讨？大致分三步：首先明确分类对象和分类标准，其次逐类分类分级得到阶段性结果并用该级标准进行检验筛选结果，最后归纳做出结论。

现将初中数学中常见的分类讨论类型做简单归纳：

一、由概念或性质导致的分类

例1：求的最大值与最小值

分析：根据题意，去绝对值需要对x的取值范围进行讨论，分三种情况，分别计算出每种情况下y的值，最后做总结归纳，得出最终结论。

解析：根据题意，按照x的取值范围，分如下三种情况：

①当时，

②当時，

③当时，

综上可知：y的最大值是2，最小值是﹣2.

例2：求方程的实数根

分析：根据题意，要解方程就必须先把绝对值去掉，就要对x的取值范围进行讨论，分两种情况，解出每种情况下x的值，最后总结归纳，得出最终结论。

解析：根据题意，按照x的取值范围，分两种情况：

①当时，原方程变为：

解出，

由于，所以应该舍去。

②当时，原方程变为：

解出，

由于，所以应该舍去。

综上可知，原方程的解为：

二、由參数导致的分类讨论

例3：已知关于x的方程有实数根，求k的取值范围。

分析：由于题目中没有明确指出该方程是一次方程还是二次方程，所以要对二次项系数是否等于零进行分类讨论：当，时，

该方程为一元一次方程，一定有实数根;当时，该方程为一元二次方程，若方程有实数根则由根的判别式大于等于零，求出k的取值范围。

解析：①当，时，5y+6

解出此时方程为一元一次方程，必有实数根。

②当，即时，

此时方程为一元二次方程，令

解得，由于，故

综上所述：

三、几何中的分类讨论

例4：已知x，y为直角三角形两边的长，满足，则第三边的长为_____________。

分析：由于题目中没有明确说明x，y是直角三角形中的直角边还是斜边，所以要分类讨论。

解析：由，可得且

分別解这两个方程，可得满足条件的解，或

由于x，y是直角边长还是斜边长没有明确，因此需要分类讨论。

当两直角边长分别为2，2时，斜边长为;

当直角边长为2，斜边长为3时，另一直角边的长为;

当一直角边长为2，另一直角边长为3时，斜边长为。

综上，第三边的长为或或。

例5：已知横截面直径为100cm的圆形下水道，

如果水面宽AB为80cm，求下水道中水的最

大深度。

分析：根据题意可知，水面AB所对的弧既可能是劣弧，也可能是优弧，所以要分两种情况讨论。

解析：如图，当水面AB所对的弧是劣弧时，过圆心O作OE⊥AB，

垂足为E，延长OE交⊙O于点F，则BE=AB=40cm，OB=50cm，由勾股定理可得，此时水深

当水面AB所对的弧是優弧时，同理可求得

所以水的最大深度为20cm或80cm。

四、总结

分类讨论是中学数学中一个极其重要的数学思想，它能使学生的思维更加严谨。教师在教学过程中应结合具体的题目，引导学生积极思考，从而培养学生运用分类讨论思想的意识。这不但对学生数学成绩的提高有事半功倍的效果，更能促进学生整体数学思维的提升。

参考文献：

[1]陈龙彬.初中数学分类讨论的几种常见综合题型[J].中学数学月刊，2013（09）：54-56.

[2]盛丽.初中数学教学中使用分类讨论的几种情况[J].河北理科教学研究，2007（02）：64.