逆用数量积几何意义 巧解解析几何问题*

福建省厦门第一中学(361003) 黄昌毅

向量是近代数学中重要和基本的概念之一,向量既是代数研究对象也是几何研究对象,是沟通几何和代数的桥梁.两个向量的数量积是一个数量,向量的数量积是连接向量与数量的桥梁,而利用向量数量积的几何意义是求解两向量数量积的常用方法.

1 向量数量积几何意义

人教A 版高中数学必修四教材第105 页提出:

由向量投影的定义,我们可以得到a·b的几何意义:数量积a·b等于a的长度|a| 与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积[1],其中θ为a与b夹角.

图1

图2

向量数量积的几何意义将两向量的数量积转化为两线段长度之积,把向量问题数量化.柴化安老师在文[2]中给出了一系列利用数量积几何意义求解向量数量积的方法,都是将两向量的数量积转化为两个数量的乘积,那么在实际应用中能否将两个数量的乘积转化为向量之积来破解问题呢?

2 逆用数量积几何意义

题1(圆幂定理) 过任意一点P向圆O引一直线,交圆于A、B点(若A、B重合则为切线),圆O半径为r,证明:PA·PB=|PO2-r2|.

证明如图3,连接直线BO交圆O于C点,则有AC⊥AB,

图3

评注若用平几知识证明或是建系方法代数运算,难度较大,计算复杂,但若能将两线段长度之积转化为两向量之积,将数量运算转化为向量运算,借助向量运算性质,就能快速解决该问题.

题2(2014年大庆中学高一月考)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4,直线l1过定点A(1,0).

(1)若l1与圆相切,求l1的方程;

(2)若l1与圆相交于P,Q两点,线段PQ的中点为M,又l1与l2:x+2y+2=0 的交点为N,判断AM·AN是否为定值,若是,则求出定值;若不是,请说明理由.

解析(1)略;

(2)如图4,M为PQ的中点,则有CM⊥PQ,所以

设N(x0,y0),则有x0+2y0+2=0,则

评注本题常规方法是假设直线l1,通过联立方程求得点M、N坐标,最后代入化简求得AM·AN=6,计算过程繁琐复杂,难度大,若能抓住CM⊥PQ,逆用数量积几何意义,转化利用点N在l2:x+2y+2=0,则可以快速化简,求出定值,解答过程简洁,计算简单.

图4

图5

题3(2015年河北唐山一中高三期中) 已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=2 经过椭圆=1(a＞b＞0)的右焦点F和上顶点B.

(1)求椭圆Γ 的方程;

(2)如图5,过原点O的射线l与椭圆Γ 在第一象限的交点为Q与圆C的交点为P,M为OP的中点,求的最大值.

解析(1)椭圆Γ:

(2)M为OP的中点,则有CM⊥OQ,所以

其中sinφ=所以的最大值为此时

评注本题若用代数法假设直线OP斜率k,通过联立方程求得P、Q点坐标,得到

然后借助函数导数求得最大值,联立方程求交点坐标过程繁琐,求函数最大值难度较大,若能抓住CM⊥OQ,逆用数量积几何意义,转化利用椭圆参数方程,则可以快速求得最大值,过程简洁,计算简单.

图6

题4(2017年高考浙江卷第21 题)如图6,已知抛物线x2=y,点抛物线上的点过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.

(1)求直线AP斜率的取值范围;

(2)求|PA|·|PQ|的最大值.

解析(1)略;

(2)依题意得BQ⊥AP,则有

令f′(x)＞0 解得＜x＜1,令f′(x)＜0 解得所以f(x) 在上递增,在上递减,所以fmax(x)=f(1)=

综上,|PA|·|PQ|的最大值为此时P(1,1).

评注命题者本意是通过假设直线AP的斜率为k,通过联立方程得到点P及点Q的坐标,利用弦长公式得到|PA|·|PQ|=f(k)=-(k-1)(k+1)3,利用第(1)问的结果求得函数最大值,这种方法计算繁琐,过程复杂,耗时耗力;若能逆用数量积几何意义,将数量|PA|·|PQ|转化为向量避开联立方程求P、Q坐标,快速得到|PA|·|PQ|的表达式,从而求出最大值.

3 反思

向量数量积的几何意义关键在于投影,而投影的关键在于垂直,寻找图形中的垂直关系是解决这类问题的关键.

利用向量数量积的几何意义,求解向量数量积问题,是教师在教学中讲解的重点,但逆用数量积几何意义,教师却很少提及,数量与向量间的相互转化就是代数与几何之间的转化.平常教学中,对于公式、恒等式教学,教师应当多思考、多关注公式、恒等式的逆用.