二次函数背景下的压轴题破解策略

胡永强

近年来许多地区都以二次函数知识为背景编制中考压轴题。解决这类问题通常需要引入新的参数代入函数表达式得出点的坐标，结合点的坐标表示一些线段的长度，再根据题目的条件建立这些线段之间的相等关系或比例关系，得到方程并求出新参数的值，从而解决问题。下面以2019年四川省南充市中考试卷第25题为例进行详细解读，供同学们参考。

如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），点B（-3，0），且OB=OC。

（1）求抛物线的解析式。

（2）点P在抛物线上，且∠POB=∠ACB，求点P的坐标。

（3）抛物线上两点M、N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4。点D是抛物线上M、N之间的动点，过点D作x轴的垂线交MN于点E。

1求DE的最大值;

2点D关于点E的对称点为F，当m为何值时，四边形MDNF为矩形？

【思路突破】（1）由点B（-3，0）和OB=OC这两个条件可得点C（0，-3），将A（-1，0）、B（-3，0）、C（0，-3）代入y=ax2+bx+c得方程组，解方程组后即可求出抛物线的解析式为y=-x2-4x-3。我们还可以由点A（-1，0）和点B（-3，0）设二次函数的交点式y=a（x+3）（x+1），将点C（0，-3）代入y=a（x+3）（x+1），得a=-1，则抛物线的解析式为y=-x2-4x-3。

（2）因为点A、B、C三点确定，因此∠ACB为一定值。图中的∠ACB所在的三角形为钝角三角形，不利于解决问题，可依托∠ACB构造一个直角三角形，再用直角三角形的相关知识解决问题。

如图2，作AH⊥BC于点H，因为A（-1，0）、B（-3，0）、C（0，-3），则AB=2，OB=OC=3，BC=32，所以∠ABC=45°，所

过点P向两条坐标轴作垂线段，构造直角三角形，再借助点P的坐标表示

因为DE∥y轴，所以我们可以设点D、E的横坐标为d，将其代入抛物线和直线MN的解析式表示出點D、E的纵坐标，再将点D的纵坐标与点E的纵坐标作差，即可得到DE的二次表达式，最后结合求二次函数最值的相关知识求出DE的最大值。

我们首先要求出直线MN的解析式。由题意得M（m，-m2-4m-3），N（m+4，-m2-12m-35），设直线MN的解析式为y=kx+n，将点M、N的坐标代入y=kx+n以直线MN的解析式为y=（-2m-8）x+m2+4m-3。设D（d，-d2-4d-3），因为DE∥y轴，所以DE=-d2+（2m+4）d-m2-4m=-[d-（m+2）]2+4，所以当d=m+2时，线段DE的值最大为4。

2如图5，此问属于矩形存在性问题。由题意得ED=EF，因此可以从对角线的角度入手，只要EM=EN就可以推出四边形MDNF为平行四边形，如果再有DE=EM，就可推出DF=MN，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可推出四边形MDNF是矩形。

引入新的字母表示点D、E的坐标，从而表示出线段DE和线段EM的长，根据DE=EM得到方程，解出方程，从而达到解决问题的目的。具体解法如下：因为点M、N在抛物线上，所以M（m，-m2-4m-3），N（m+4，-m2-12m-35）。因为四边形MDNF是矩形，所以DF=MN且DF与MN互相平分，即DE=EM，点E为MN的中点，所以E（m+2，-m2-形MDNF是矩形。注意，此问还可以从矩形的定义切入，由DF与MN互相平分可推出四边形MDNF为平行四边形，若∠MDN是直角即可判断四边形MDNF是矩形。那么我们可以过点D作y轴的垂线，垂足为点S，过点M、N分别作DS的垂线，构造“K型图”，用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解。

【解后反思】解决这类问题的突破口是用新的参数表示点的坐标及线段的长，关键是建立这些线段之间的等量关系或比例关系。此类题的难点是计算，一要计算准确，二要注重验算。

（作者单位：江苏省苏州市阳山实验初级中学校）