高二数学测试

一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.下列求导运算正确的是( )

(C)(3x)′=3xlog3e

(D)(x2cosx)′=-2xsinx

2.已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),若P(ξ>3)=0.2,则P(ξ≥-1)=( )

(A)0.8 (B)0.7 (C)0.6 (D)0.5

3.现有4名男生,2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动,在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为( )

4.若函数f(x)=kx-lnx在区间(2,+∞)内单调减,则实数k的取值范围为( )

(A)k<0 (B)k≤0

5.已知下表所示数据的回归直线方程为y=4x-4,则实数a的值为( )

x23456 y3711a21

(A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 22

6.3位数学家、4位物理学家站成两排照像.

其中前排3人后排4人,要求数学家相邻,则不同的排队方法共有( )

(A) 5 040种 (B) 840种

(C) 720种 (D) 432种

8.已知函数f(x)=(x-3)ex+a(2lnx-x+1)在(1,+∞)内有两个极值点,且f(x)在(1,2)内单调递增,则实数a的取值范围是( )

(A) (e,+∞)

(B) (e,2e2)

(C) (2e2,+∞)

(D) (e,2e2)∪(2e2,+∞)

二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,计20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求的.全部选对的得5分,部分选对得3分,有选错得0分)

(A) ① (B) ② (C) ③ (D) ④

10.对任意实数x,有(2x-3)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+a9(x-1)9.则下列结论成立的是( )

(A)a2=-144

(B)a0=1

(C)a0+a1+a2+…+a9=1

(D)a0-a1+a2-a3+…-a9=-39

11.下列说法正确的是( )

(A) 将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后,方差也变为原来的a倍

(B) 设有一个回归方程y=3-5x,变量x增加1个单位时,y平均减少5个单位

(C) 线性相关系数r越大,两个变量的线性相关性越强;反之,线性相关性越弱

(D) 在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),则P(ξ>1)=0.5

(A) 函数f(x)有极小值也有最小值

(B) 函数f(x)存在两个不同的零点

三、填空题(本大题共4小题, 每小题5分,计20分.其中若一题2空,第一个空2分,第二个空3分;其余题均为每空5分)

14.2019年某夏令营组织5名营员参观北京大学、清华大学等五所大学,要求每人任选一所大学参观,则有且只有两个人选择北京大学的不同方案共有______个.(用数字作答)

15.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为2,由综合法可求得:点A1到平面ACB1的距离为______;直线AC1与平面ACB1所成角的正弦值为______.

四、解答题(本题共6小题,计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

(1)求复数z;

(2)复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.

(1)n;

(2)展开式中的所有的有理项.

20.(本小题满分10分)在下图的几何体中，

DE∥AC,AC⊥平面BCD,AC=2DE=4,BC=2,DC=1,∠BCD=60°.

(1)证明:BD⊥平面ACDE;

(2)求平面BCD与平面BAE所成二面角的正弦值.(综合法求解)

21.(本小题满分14分)近年来,全国各级党委和政府高度重视扶贫开发工作,坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署,在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作,取得了积极成效.某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召,特地承包了一块土地,已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示:

土地使用面积x(单位:亩)12345 管理时间y(单位:月)810132524

并调查了某村300名村民参与管理的意愿,得到的部分数据如下表所示:

愿意参与管理不愿意参与管理 男性村民15050 女性村民50

(1)求相关系数r的大小,并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关?

(2)是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性?

(3)若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况,则从该贫困县中任取3人,记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为X,求X的分布列及数学期望.

参考公式:

其中n=a+b+c+d.临界值表:

P(K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001 k02.7063.8415.0246.63510.828

22.(本小题满分16分)已知函数

f(x)=x(lnx-ax).

(1)若a=0,求f(x)的单调区间和最小值;

(2)若f(x)有两个极值,求a的取值范围;

参考答案

一、单项选择题

1.B；2.A;3.D;4.B;5.B;

6.D;7.A;8.C.

二、多项选择题

9.BD；10.ACD;11.BD;12.ABD.

三、填空题

13.11；14.640；

四、解答题

17.(1)设z=x+yi(x,y∈R),则z+2i=x+(y+2)i为实数,得y=-2.

(2)由(z+ai)2=(4-2i+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i在第一象限,得

18.f′(x)=x2-4x+a.

由题意,x2-4x+a=-1有唯一实根，所以Δ=16-4(a+1)=0,得a=3.

20.(1)在∆BCD中,BD2=22+1-2×1×2cos 60°=3.所以BC2=BD2+DC2,得BD⊥CD.

又因为AC⊥平面BCD,所以AC⊥BD.而AC∩CD=C,所以BD⊥平面ACDE.

(2)如图延长AE,CD相交于点G,连结BG,则平面AEB∩平面BCD=BG，二面角A-BG-C就是平面BCD与平面BAE所成的二面角.

因为DE∥AC,AC=2DE,所以DE是∆AGC的中位线，得GD=DC=1,GC=BC=2.又∠BCD=60°,故∆BGC是等边三角形.

取BG的中点为H,连结AH,CH,由AC⊥平面BCD，可知∠AHC为二面角A-BG-C的平面角.

故管理时间y与土地使用面积x线性相关.

(2)依题意,完善表格如下:

愿意参与管理不愿意参与管理总计 男性村民15050200 女性村民5050100 总计200100300

计算得k2的观测值为

=18.75>10.828.

故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性.

故x的分布列为

X0123 P12521625725721216

(2)依题意，f′(x)=lnx-2ax+1在(0,+∞)有两个不同的零点,且零点左右的f′(x)的符号相反.

当a≤0时,h′(x)>0,h(x)在(0,+∞)单调增,h(x)最多有一个零点,不合题意.

(3)结论为x1x2<(x1+x2)4,证明如下.