曲线波形钢腹板箱梁竖向弯曲自振特性

乔朋 王宗义 赵丹晨

（长安大学建筑工程学院，西安 710061）

波形钢腹板箱梁桥是一种起源于法国的钢-混凝土组合桥梁，具有结构自重轻、预应力施加效率高、腹板屈曲性能好等优点。波形钢腹板箱梁桥在日本得到了广泛的发展和应用，并在20 世纪末引入中国，并越来越多地应用于城市和高速公路桥梁工程。在动力特性方面，国内学者对直线波形钢腹板箱梁的自振特性进行了比较完善的研究。李杰等［1］依托郑州市陇海路高架常庄水库桥建立实体有限元模型，分析了预应力、波形钢腹板的波折角、单板宽度、厚度和横隔板对自振频率的影响，结果表明预应力和波形钢腹板结构形式对频率影响不大，横隔板数量的增加对扭转频率影响较大；孙晓红等［2］以李家河中桥为例，建立梁单元有限元模型，研究了宽跨比、高跨比、波形钢腹板的波折角、水平面板长对自振频率的影响规律，给出了参数的最佳取值区间；刘保东、陈水生等［3-5］制作了波形钢腹板试验箱梁的缩尺模型，将实测结果和有限元分析结果进行了对比，验证了有限元分析结果的可靠性，并分析了横隔板对扭转频率的影响规律，发现在梁端增设横隔板对扭转特性的改善最佳；韦忠瑄等［6］建立了30 m 长的波形钢腹板试验箱梁，用试验结果对自振频率的理论公式进行验证，证明理论公式可以计算该类型箱梁桥的基频；冀伟、张永健等［7-9］通过理论分析得到了考虑剪力滞效应和剪切变形双重影响的波形钢腹板箱梁弯曲自振频率计算公式，有限元分析和试验结果表明剪切变形对弯曲自振频率影响较大，剪力滞效应影响较小；马驰等［10］在考虑剪力滞及剪切变形的影响下，运用能量法得出自振频率矩阵方程，并与试验和有限元分析结果进行对比，发现剪力滞及剪切变形对自振频率有减小作用，且高阶频率剪力滞起主导作用；郑尚敏等［11］推导了考虑体外预应力效应的自振频率计算公式，并结合有限元模型分析了体外预应力大小、钢束锚固位置和钢束截面积对自振频率的影响，得出三者对波形钢腹板箱梁的自振频率影响较小，可以忽略不计；任红伟等［12］推导了波纹钢腹板箱梁扭转振动频率的计算公式，并与有限元分析和试验扭转频率进行了对比分析，验证了理论公式具有较高的精度；张长青、李红雪等［13-14］用有限元模型对地震作用下波形钢腹板箱梁的动力响应进行了分析，结果表明箱梁的内力与桥墩的受力趋势基本相同；尹航等［15］利用有限元模型对波形钢腹板箱梁和混凝土箱梁的动力特性进行了对比分析，发现波形钢腹板箱梁比混凝土箱梁抗扭刚度低，可通过增设横隔板来增强；李鹏飞等［16］对单箱双室和双箱双室波形钢腹板箱梁的自振特性进行了对比分析，发现单箱双室箱梁较双箱双室箱梁扭转频率大，整体性好。在静力特性方面，曲线波形钢腹板箱梁在使用过程中存在强烈的弯扭耦合效应，还会受到剪力滞效应、翘曲、畸变等影响。因此，曲线波形钢腹板箱梁的动力特性与直线梁存在差异，有必要展开研究。文献［17］对曲线波形钢腹板箱梁在地震作用下曲线组合梁的动力响应规律进行了分析。

本文在直线波形钢腹板弯曲自振频率的理论公式基础上，考虑半径和扭转角对曲线波形钢腹板箱梁的竖向弯曲自振频率的影响，并给出考虑剪力滞效应和剪切变形影响的范围。在初等梁理论的基础上，考虑箱梁剪力滞和剪切变形双重效应的影响，应用能量变分法及哈密尔顿原理，通过假定位移、扭转角和转角函数，推导曲线波形钢腹板简支箱梁多阶竖向弯曲自振频率的解析解，对竖向弯曲自振频率的主要因素进行参数分析。

1 弯曲自振频率理论分析

1.1 基本假定

分析曲线波形钢腹板箱梁的竖向弯曲自由振动基于以下假定：①忽略波形钢腹板的竖向抗弯作用；②截面变形服从“拟平截面假定”［7］；③忽略翼板纵向纤维间的竖向及横向挤压变形，忽略翼板平面外的剪应变，即正应变εy=εz= 0，剪切应变γxz=γyz= 0；④波形钢腹板与混凝土翼板紧密连接无滑移；⑤上下翼板纵向翘曲位移u(x，y，t)沿翼板（y坐标方向）为三次抛物线分布［9］。

曲线波形钢腹板箱梁截面如图1所示。

竖向位移函数为

图1 曲线波形钢腹板箱梁

曲线波形钢腹板箱梁的纵向翘曲位移函数为

式中：t为时间；hi为顶板或底板至截面形心的距离；bi为组合箱梁顶底板半宽或悬臂板宽；U(x，t)为剪切转角最大差值。

1.2 箱梁应变能及动能

1）波形钢腹板箱梁的应变

根据假定③可知，曲线波形钢腹板箱梁的翼板正应变和剪切应变分别为

式中：φ(x)为箱梁扭转角；r为箱梁曲率半径。

2）波形钢腹板箱梁应变势能

顶底板弯曲应变能V1为

将式（3）、式（4）代入式（5）可得

剪切应变能V2、自由扭转势能V3、翘曲扭转势能V4分别为

由顶底板的弯曲应变能和扭转势能组成体系的总势能为

式中：E为混凝土弹性模量；G为混凝土的剪切模量；Gs为波形钢腹板有效剪切模量；b为组合箱梁宽度；As为波形钢腹板剪切面积；Is为组合箱梁翼板惯性矩；Isa为组合箱梁翼板广义惯性矩和Is3分别为组合箱梁上顶板、悬臂板和下底板惯性矩；Id为箱梁截面绕形心的抗扭惯性矩；Iw为箱梁截面扇形惯性矩；θ为箱梁截面转角。

3）结构总动能

仅考虑波形钢腹板箱梁的竖向弯曲振动，则总动能为

式中：l为组合箱梁的轴向中心线长度；ρ为组合箱梁的密度；A为截面面积。

2 曲线波形钢腹板箱梁的弯曲自振频率

假设位移场函数为

式中：ω为振动圆频率；φ为函数初始相位角；n为频率的阶数；w0，φ0，U0，θ0分别为位移振幅、扭转角振幅、剪切转角的最大差值振幅、转角振幅。

波形钢腹板箱梁组合结构在自振时没有外力的作用，故没有产生外力势能。根据哈密尔顿原理可知其中，H为结构外力总势能。把式（12）—式（15）代入式（6）—式（11）可得

式（17）是一个四元一次方程，要使此方程有意义，必有非零解，故其系数行列式值为0。其中，kij各项系数分别为

式（17）行列式为0 时，曲线波形钢腹板箱梁的竖向弯曲自由振动频率为

式中：γ1为剪力滞影响系数；γ2为剪切变形影响系数。

当r→∞时，直线波形钢腹板箱梁的竖向弯曲自由振动频率为

式中：α1为剪力滞影响系数；α2为剪切变形影响系数。α1= 35/(40+ 112GIsal2/n2π2EIsb2)，α2= 1/(1+GsAsl2/n2π2EIs)。

当b1=b2=b3，且n=1 时，式（19）与文献［8］中的结果相同，表明了式（18）的通用性。当式（18）中γ1=γ2= 0，式（19）中α1=α2= 0 时，表达式为初等梁理论（即不考虑剪力滞）的简支箱梁振动频率。

3 理论公式验证

3.1 直线波形钢腹板箱梁

由文献［8］得到波形钢腹板简支箱梁的试验数据，对式（19）进行验证，结果见表1。

表1 直线形式的竖向弯曲自振频率

由表1 可知，式（19）求得的竖向弯曲自振频率与试验数据和有限元计算值吻合良好，验证了本文公式和实体有限元的正确性，也说明了文献［8］试验数据的可靠性。

3.2 曲线波形钢腹板箱梁

参考已建工程对一曲率半径为110 m、跨径为50 m的曲线波形钢腹板简支箱梁（图2）进行分析。端部横隔板的宽度为860 mm，箱梁在中部有一中横板，宽度为560 mm。波形钢腹板采用Q345C钢材，顶底板采用C50混凝土，材料参数见表2。

图2 波形钢腹板箱梁截面示意图（单位：mm）

表2 材料参数

采用有限元软件ANSYS 建立曲线波形钢腹板简支箱梁模型，顶底板和横隔板采用solid45 实体模拟，波形钢腹板采用shell63 壳体模拟，波形钢腹板伸进混凝土顶底板的一半进行共节点连接。模型一端内侧采用横向、轴向和竖向进行约束，另一端内侧采用横向和竖向进行约束，两端外侧均只加竖向约束。不考虑波形钢腹板箱梁铺装层的影响。全桥模型划分网格后，共有6 970 个实体单元，4 680 个壳体单元，18 686个节点。

由表1可知，实体有限元与试验数据拟合度高，故可通过实体有限元对曲线波形钢腹板的理论公式进行验证，见表3。可知，式（18）求得的竖向弯曲自振频率和有限元计算值吻合良好，前3 阶差值均在9%以内。式（18）计算值均小于初等梁理论计算值，表明考虑剪力滞效应和剪切变形会降低箱梁的竖向弯曲刚度，且差值随振动阶次升高显著增大。

表3 曲线形式的竖向弯曲自振频率

4 参数分析

跨径比、宽跨比和高跨比是影响波形钢腹板箱梁自振频率的 3 个重要因素［2，17］。根据国内外箱梁实桥的设计参数取值［18-21］，确定本文组合箱梁的跨宽比为1/12.5～1/5，高跨比为 1/13～1/30，曲率半径为 50～140 m。

4.1 跨径比

在曲线波形钢腹板箱梁的跨度和截面尺寸不变的情况下，曲率半径r分别为50，80，110，140 m和无穷大时，式（18）与有限元分析得到的竖向弯曲自振频率计算结果对比见图3。竖向弯曲基频下不同跨径比时箱梁的影响系数见图4。

图3 不同跨径比时箱梁的弯曲自振频率

图4 不同跨径比时箱梁的影响系数

由图3 可知，式（18）与有限元法计算结果基本吻合，差值均小于8%。箱梁曲率半径对1～3阶竖向弯曲自振频率有较小的影响，各阶竖向弯曲频率随半径增大略有减小。

由图4可知，剪切变形影响系数与跨径比无关，约为10%。剪力滞影响系数随跨径比的增大而增大，当跨径比小于0.4 时，剪力滞影响系数小于5%；跨径比等于1.0时，剪力滞影响系数会超过20%。

4.2 宽跨比

在曲线波形钢腹板箱梁半径不变的情况下，当跨径分别为30，35，40，45，50 m 时，改变箱室宽度使宽跨比分别为0.08，0.10，0.12，0.16，0.20，式（18）与有限元分析得到的竖向弯曲自振频率计算结果对比见图5。竖向弯曲基频下不同宽跨比时箱梁的影响系数见图6。

图5 不同宽跨比时箱梁的弯曲自振频率

图6 不同宽跨比时箱梁的影响系数

从图5可知，式（18）与有限元法计算值基本吻合，差值在15%内。

由图6可知，随着宽跨比的增大，剪力滞影响系数和剪切变形系数近似呈线性增长。当宽跨比小于0.1时，剪力滞影响系数小于5%。而剪切变形对竖向弯曲基频的影响较大，即使宽跨比小于0.1，当跨长较小时，剪切变形影响系数仍会大于10%；当宽跨比等于0.2时，剪切变形影响系数在15%～25%。

4.3 高跨比

在曲线波形钢腹板箱梁半径不变的情况下，当箱梁跨径分别为30，35，40，45，50 m 时，改变箱室高度使高跨比分别为0.032，0.044，0.052，0.064，0.076，式（18）与有限元分析得到的竖向弯曲自振频率计算结果对比见图7。竖向弯曲基频下不同高跨比时箱梁的影响系数见图8。

图7 不同高跨比时箱梁的弯曲自振频率

图8 不同高跨比时箱梁的影响系数

由图7可知，式（18）与有限元法计算值基本吻合，差值在13%内。

由图8可知，随着高跨比的增大，剪力滞影响系数略有减小，当跨径相同时截面高度的影响变化不大；剪切变形影响系数近似呈线性增大。跨径越小剪力滞效应影响越大，而不同跨径的剪力滞影响系数均小于8%，表明不同高度的箱梁剪力滞效应对竖向弯曲基频影响相对较小，且宽跨比影响大于高跨比。而剪切变形的影响较大，多数情况影响系数大于10%；当高跨比大于0.07 时，剪切变形影响系数可达15%～20%。

5 结论

1）基于能量变分法及哈密尔顿原理，推导了考虑剪力滞效应和剪切变形双重效应下的曲线简支波形钢腹板箱梁的竖向弯曲自由振动频率计算公式。与对直线箱梁的影响类似，考虑剪力滞效应和剪切变形后，曲线波形钢腹板箱梁的竖向弯曲刚度减小，使其竖向弯曲自振频率降低，同时考虑2 种效应可能使基频降低30%以上。

2）剪力滞效应对竖向弯曲基频的影响随着跨径比和宽跨比的增大而增大，高跨比的影响可忽略；剪切变形对竖向弯曲基频的影响随着宽跨比和高跨比的增大而增大，跨径比的影响可忽略。剪切变形的影响比剪力滞效应更显著，前者影响系数在5%～25%，后者影响系数一般小于10%。分析曲线波形钢腹板箱梁动力特性时，应考虑剪切变形的影响；当跨径比小于0.4、跨宽比小于0.1时，可忽略剪力滞效应的影响。

本文公式只能用于竖向弯曲振动计算，对于波形钢腹板箱梁扭转、横向自由振动的分析有待于进一步研究。