基于阻抗特性多项式拟合的直驱风电机组次同步振荡稳定判据

于永军，王利超，张明远，肖仕武*，张馨元

基于阻抗特性多项式拟合的直驱风电机组次同步振荡稳定判据

于永军1，王利超1，张明远2，肖仕武2*，张馨元2

（1．国网新疆电力科学研究院，新疆维吾尔自治区 乌鲁木齐市 830011；2．华北电力大学电气与电子工程学院，北京市 昌平区 102206）

近年来，阻抗分析法已成为分析新能源发电并网系统稳定性问题的一种主要研究方法。以直驱风电机组并网系统为例，分析了现有的奈奎斯特(Nyquist)稳定判据的特点和适用范围。为了弥补现有阻抗稳定判据的不足，提出了一种基于阻抗特性分式多项式函数拟合的量化稳定判据，采用分式多项式函数等效拟合理论推导或实测的风电机组端口阻抗特性，在拟合频段内分式多项式与原阻抗特性等价。通过求取拟合多项式零点获得了系统振荡频率和阻尼水平，量化分析了系统稳定特性，拓展了阻抗稳定判据的适用范围。最后，通过理论分析和时域仿真验证了分式多项式拟合判据的正确性和有效性。

直驱风电机组(D-PMSG)；序阻抗特性；多项式拟合；次/超同步振荡；稳定判据

0 引言

随着风电、光伏等新能源的大量并网，送受端常规机组被大量替代，电网形态及运行特性发生显著变化，系统电力电子化特征凸显，易引发次/超同步振荡(sub/super-synchronous oscillation，SSO)问题[1-5]。2011年以来，我国河北沽源地区发生了多起因双馈风电机组与串补电网相互作用而引发的次同步振荡，造成变压器异常振动和大量风机脱网[6-7]。2015年7月1日，我国新疆某地区大规模直驱风电机组(direct drive permanent magnet synchronous generator，D-PMSG)在接入弱交流电网情况下发生了次同步频率功率振荡，甚至导致了临近汽轮发电机组扭振保护动作停机，引发了国内外广泛关注[8]。

阻抗分析法由于物理概念清晰，采用分区分析方法降低了维数，易于扩展到多台风电机组系统，因而成为当前分析风电机组并网系统SSO稳定性的一种主要研究方法[9]。采用阻抗分析法首先要获得风电机组和电网阻抗模型。当前，对系统进行阻抗建模的方式主要有同步旋转坐标系()建模[10-13]和三相静止坐标系()建模[14-15]。

采用坐标系建模的结果是一个二维阻抗矩阵模型，由于阻抗矩阵往往不能解耦，使得基于该方法的稳定性分析较为复杂[16]。为了克服建模的局限性和缺点，文献[15]提出在坐标系下采用谐波线性化的建模方法，通过测量某一频率下由电压扰动而产生的同频率电流响应来建立序阻抗模型。由于序阻抗模型在建立过程中不需要确定特定参考坐标系，因而它更适用于多机复杂系统的阻抗建模。

稳定判据主要包括基于阻抗特性的奈奎斯特 (Nyquist)判据[17]、范数判据[18]和聚合RLC电路法[19-20]。Nyquist判据因在实际工程应用中简单、直观而获得了广泛的应用，其根据电网和风电机组阻抗比值的奈氏曲线是否包含(-1，0)判断系统稳定性，通过奈氏曲线与单位圆在复平面上的交点来获得系统振荡频率和相位裕量。这种方法能够很好地定性判断系统绝对稳定性(稳定/不稳定)，但在获取系统实际振荡频率和比较不同系统间相对稳定程度(哪个更稳定/不稳定)上稍显不足。文献[21]采用基于阻抗特性的Nyquist判据对双馈风电机组的序阻抗模型进行分析，并获得了系统的振荡频率和相位裕量，但没有比较不同系统间相对稳定程度。范数判据仅能给出定性的稳定分析结果，无法量化分析系统稳定性，且使用起来较为复杂。聚合RLC电路法通过计算RLC等效二阶电路中R、L、C的具体数值来获得系统阻尼和振荡频率，从而量化分析系统稳定特性，其具有物理概念清晰、易于理解的优点；但它仅适用于振荡频率的邻域内且阻尼很小的工况，一定程度上限制了其适用范围。文献[19]采用聚合RLC电路法量化分析了直驱风电机组并网系统的SSO特性，获得了系统振荡频率和阻尼。文献[22]比较分析了采用Nyquist判据和聚合RLC电路法对双馈风电场并网系统量化稳定分析的结果，同时指出采用Nyquist判据分析所得系统振荡频率与实际频率存在一定的偏差，并且无法提供系统的阻尼水平。

在实际应用中往往需要定量对比2种工况下系统振荡频率和稳定裕度的变化，以便进行系统参数的修改及控制策略的调整。鉴于此，本文提出了基于阻抗特性分式多项式函数拟合的量化稳定判据，采用分式多项式对理论推导或实测的阻抗特性进行拟合，在拟合频段内分式多项式与原阻抗特性等价。讨论了分式多项式拟合实现方法，根据分式多项式的零点给出系统的振荡频率及阻尼水平。最后通过对比算例分析结果和时域仿真结果来验证稳定判据的正确性和有效性。

1 直驱风电机组并网系统序阻抗特性

1.1 风电机组序阻抗特性

直驱风电机组并网系统电路结构及内部控制如图1所示，由于风电机组并网次同步振荡主要受PWM逆变电路的影响，因此重点对并网逆变器进行分析。

图1中：ia、ib、ic是风电机组逆变器出口电压；a、b、c和a、b、c分别为风电机组并网点电压和电流；dc是直流侧输入电压；是直流侧电容；电感f与电容f组成LC滤波电路；电网等值阻抗由电阻g与电感g串联组成；是锁相环(phase locked loop，PLL)输出角度；H()是电流调节器传递函数；K是轴交叉解耦系数，K=w1f。由于直流电压环与功率外环控制带宽远低于所研究的振荡频率范围，因此可以忽略直流电压与功率控制回路对阻抗模型的影响，直流电压dc简化为固定值，忽略电压前馈对风电机组输出阻抗模型的影响。

已有较多研究者采用谐波线性化的方法建立风电机组输出正负序阻抗模型和电网等值序阻抗模型[17]，在实际工程应用中往往无法掌握风电机组内部详细的控制策略和控制参数，只能通过频率扫描的方法实测机端阻抗特性，本文针对图1所示风电机组的PSCAD/EMTDC模型扫频实测得到风电机组正负序阻抗特性，如图2所示。

图1 直驱风电机组并网系统电路结构及控制示意图

图2 风电机组输出正负序阻抗‒频率曲线

1.2 电网序阻抗建模

电网阻抗常用电阻和电感串联的形式进行等值，其序阻抗模型如下：

直驱风电机组运行控制参数设置为直驱风电机组典型控制参数[14]。

2 现有基于序阻抗模型的稳定判据分析

2.1 基于阻抗特性的Nyquist判据

利用诺顿等效原则，可以将直驱风电机组并网系统等效为由理想电流源、风电机组输出阻抗s和电网输入阻抗g组成的小信号电路模型[17]，如图3所示。图3中各电气量之间的等式关系为

式中：I为风电机组并网点电流；Is为风电机组等效电流源电流；Ug为电网等效电压源电压。

为了便于分析直驱风电机组与电网间的交互稳定问题，假定风电机组与电网在互联之前是各自稳定的，因此()是否稳定取决于式(3)所示函数是否稳定。

显然，()是一个闭环传递函数，依据线性控制理论，()稳定的前提是g()/s()满足Nyquist稳定判据。

Nyquist稳定判据能够很好地判定系统的绝对稳定性(稳定或不稳定)，并通过增益裕量g和相位裕量来衡量系统的相对稳定性，因此在工程中获得了广泛应用。但基于阻抗特性的Nyquist稳定判据在确定系统振荡频率和评价系统稳定程度方面仍有不足之处。

可通过开环传递函数g()/s()的奈氏曲线与单位圆在复平面的交点来确定系统振荡频率。这种计算系统振荡频率的方法在系统处于临界稳定状态时是完全准确的，此时g()/s()的奈氏曲线恰好经过点(-1，0)，奈氏曲线与单位圆的交点即为(-1，0)，此时，该点所对应的频率即为系统临界振荡频率。

然而，实际系统在大多数情况下往往处于稳定/不稳定状态，此时g()/s()的奈氏曲线与单位圆在复平面的交点所对应的频率就不再是系统的实际振荡频率，所以此方式仅适用于系统临界稳定状态。

Nyquist稳定判据通过增益裕量g和相位裕量可以衡量系统的相对稳定性，但二者之间并不是简单的比例关系，根据Nyquist曲线的增益裕量和相位裕量不足以对比判断系统在不同工况下的相对稳定程度。

但是Nyquist判据在实际工程应用中仍具有一定的优势。实际工程中风电机组控制策略及参数往往是未知的，而采用实验测得风电机组阻抗s()与电网阻抗g()，通过g()/s()的奈氏曲线在复平面上与单位圆的交点便可以近似地判断系统振荡频率。由于风电机组和电网的实测阻抗与实际阻抗往往存在着一定的误差，并且实际工程应用对系统振荡频率精确度的要求较低，所以基于阻抗特性的Nyquist判据在处理风电机组实测阻抗上具有一定的优势。

2.2 基于阻抗‒频率特性曲线的波特图判据

基于风电机组阻抗和电网阻抗频率特性曲线的波特图判据与Nyquist判据的基本原理相似。通过解析法或者实测法获得风电机组和电网的阻抗-频率波特图，通过分析风电机组阻抗幅频曲线与电网阻抗幅频曲线交点频率对应的二者相位差D判断系统稳定性，若D<180°，则系统稳定；反之，则系统不稳定。

波特图判据不仅能够定性地判断系统稳定性，还能通过阻抗‒相频曲线找出系统可能发生的振荡区域，如图4所示，这也是波特图判据相较于Nyquist判据的优势所在。然而，在定量判断系统振荡频率和比较不同系统稳定程度上，波特图判据仍存在不足之处。

图4 风电机组并网系统阻抗-频率波特图

3 基于拟合分式多项式函数的量化稳定判据

3.1 基于分式多项式函数拟合阻抗特性基本 原理

直驱风电机组并网系统的稳定性取决于式(3)所示的闭环传递函数的稳定性，除了Nyquist稳定判据之外，通过求解系统总阻抗total()=s()+g()的零点也可以判断系统的稳定性[19]。系统总阻抗total()的零点反映了系统阻尼水平和振荡频率，定量反映了系统的稳定特性，零点实部决定了系统的阻尼水平，虚部决定了系统的振荡频率。相比于Nyquist稳定判据，该方式通过比较不同工况下系统阻尼的大小来定量判断风电机组并网的相对稳定程度，正/负阻尼越大，系统越稳定/不稳定，并且所求零点的虚部直接决定了系统的振荡频率。

通过对直驱风电机组并网系统的阻抗建模，获得了直驱风电机组输出阻抗s()和电网输入阻抗g()的频域解析表达式，代入total()求解零点，可以计算得到系统振荡模式的频率和阻尼。然而，实际系统往往包含多个动态元件，系统的阶数非常高，得到的total()解析表达式很复杂，直接求解total()零点非常困难；或者在实际工程中因无法得到风电机组内部准确的控制策略和控制参数，而无法理论推导得出阻抗特性解析表达式，只能通过扫频的办法实测出端口阻抗特性曲线。针对以上2种情况都需要研究如何利用total()来量化分析系统稳定性。

函数拟合是对已获得实验数据曲线进行分析的重要数学方法。根据函数拟合的基本原理，可以采用形如式(4)的分式多项式对直驱风电机组并网系统阻抗曲线在一频段内进行拟合。

式中b，b−1，…，0，a，a−1，…，0，，均为实常数。

在一段频带范围内利用式(4)对total()进行拟合，在获得较高拟合精度的前提下，拟合区间内应有()=total()成立。如果total()在拟合区间内存在零点，则该零点也存在于拟合多项式()中，反之亦成立。因此，在拟合精度很高(即拟合误差很小)时，拟合分式多项式能够准确反映拟合区间内total()的所有零点。在得到拟合分式多项式函数的基础上，就可以对系统稳定特性进行量化分析。

3.2 拟合分式多项式函数的选择原则

对于任一形如式(4)的分式多项式函数，并非均能满足拟合的要求。

1）=1，取任意值。

此时，分子多项式可以表示为1()=0+1，对拟合后的分式多项式求解零点，即求解1()=0的根，由于表达式中系数均为实数，1()不存在复数零点，如此便不能反映出原函数total()存在复数共轭根的情形，所以此类多项式不能满足拟合的要求。

2）=2，=0。

此时由于=0，原分式多项式就可以转化为普通多项式表示，即

将=j代入式(5)中，可得

式中=2p，其中是频率。

不难看出，式(6)中拟合多项式的实部是关于频率的非线性函数；虚部是关于频率的线性函数。由于阻抗实部-频率、虚部-频率曲线往往是非线性曲线，采用此类多项式在实际拟合中很难保证在拟合区间内有很小的拟合误差，因此，此类多项式不能满足拟合的要求。

3）=2，=1。

此时拟合多项式形式为

将j代入式(7)中，可得

显然，此类多项式的实部与虚部均为频率的非线性函数，因此，此类多项式可以在一个区间内对total()进行拟合。

特别地，若令0=0，式(8)可转化为如下形式：

式中：=1/1；=2/1；=1/0。

式(9)中拟合多项式的实部是一常数，虚部是关于频率的非线性函数。由于阻抗实部-频率曲线往往是非线性曲线，所以此类多项式不能满足拟合的要求。

因此，为了获得更高的拟合精度，形如式(4)的多项式应当满足分子多项式阶数³2，分母多项式阶数³1。

3.3 拟合分式多项式函数的精度分析及稳定判据实现

拟合分式多项式函数曲线拟合的精度可以利用拟合优度2来衡量：

定义拟合误差与拟合优度2有如下关系：

为了简化分析过程，采用形如式(4)的多项式对系统总阻抗特性曲线total()进行拟合。以网侧连接电阻值g=0W，电感值g=2.8mH工况为例，拟合频率区间选择(60，80)Hz，拟合分式多项式分子阶数、分母阶数取值较小会产生较大的拟合误差，随着、取值的增大，拟合误差减小，拟合的精度提高。

拟合频率区间选择(60，80)Hz，不同的拟合分式多项式阶数对拟合结果的影响如表1所示。结果表明，在拟合误差很小时，拟合多项式阶数对系统稳定性量化分析的结果影响很小。

表1 拟合多项式阶数对拟合结果的影响

通过对比分析表1数据不难看出，在保证较高拟合精度的前提下，拟合阶数、的选取对系统稳定性量化分析结果影响很小。

以网侧电阻值g=0W，电感值g=2.8mH工况为例，拟合频率区间选择(60，80)Hz，不妨取=10，=8。通过式(10)、(11)可计算得到阻抗实部拟合误差为1.0×10-7，阻抗虚部拟合误差为4.9×10-7，拟合分式多项式在(60，80)Hz范围内的零点为−19.46±j2p×68.752。因此，根据稳定 判据原理可知系统在该工况下的振荡频率为68.752Hz，阻尼为−19.46s-1，系统SSO稳定。

4 算例验证与分析

直驱风电机组接入电网的强弱常用连接的电抗值来表征，连接电抗值越小，电网强度越高。表2为电网连接电感值变化时，通过拟合分式多项式、Nyquist稳定判据2种方式求得的系统振荡频率和阻尼。衡量稳定性指标为阻尼值，即零点的实部，正阻尼为稳定，负阻尼为不稳定，绝对值越大，程度越深。分析结果表明，随着电网连接电感值的增大，系统振荡频率降低，阻尼减弱，系统发生不稳定SSO风险升高。

表2 拟合分式多项式、Nyquist稳定判据计算结果对比

在PSCAD/EMTDC仿真平台中搭建直驱风电机组接入交流电网的时域仿真模型。在仿真中设置1s时系统中加入一个扰动，改变电网侧的连接电抗值，得到风电机组输出的有功功率波形如图5所示。对风电机组并网点电流进行傅里叶分析，得到系统振荡频率如表3所示。

图5 直驱风电机组有功功率输出波形

表3 连接电抗对系统SSO特性的影响

仿真结果表明：随着网侧连接电感值的增大，系统的振荡频率降低，系统发生不稳定SSO的风险升高。由此可见，通过多项式拟合稳定判据获得的量化指标能很好地反映系统的稳定性特征。

5 结论

提出了一种采用分式多项式函数拟合风电机组机并网系统总阻抗的方法，通过求取拟合多项式零点获得系统振荡频率及阻尼，从而实现了风电机组并网稳定性的量化分析。所得结论如下：

1）基于阻抗特性的Nyquist稳定判据中，通过奈氏曲线在复平面上与单位圆的交点来判断系统振荡频率的方式仅适用于系统临界稳定状态；通过相位裕量和增益裕量来衡量不同系统间相对稳定程度时仍存在不足之处。

2）采用分式多项式函数拟合理论推导或实测的系统阻抗‒频率曲线，在拟合频段内分式多项式与原阻抗特性等价。基于分式多项式的零点定量判断系统的振荡频率和阻尼水平，弥补了以往阻抗稳定判据的不足。通过比较系统阻尼大小实现不同系统间相对稳定程度的对比，拓展了量化稳定判据的适用范围，系统正/负阻尼很大时，分式多项式拟合判据仍具有较高的精度。

3）为了获得较好的拟合精度，拟合的分式多项式应当满足分子多项式阶数³2，分母多项式阶数³1。拟合区间相同时，拟合多项式阶数越高，拟合误差越小。满足一定拟合阶数后，若再增加阶数，对所求零点的误差影响很小。

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Stability Criterion of Subsynchronous Oscillation of Direct Drive Permanent Magnet Synchronous Generator Based on Impedance Polynomial Fitting

YU Yongjun1, WANG Lichao1, ZHANG Mingyuan2, XIAO Shiwu2*, ZHANG Xinyuan2

(1.State Grid Xinjiang Electric Power Research Institute, Urumqi 830011, Xinjiang Uygur Autonomous Region, China; 2. School of Electrical & Electronic Engineering, North China Electric Power University, Changping District，Beijing 102206, China)

Impedance analysis is the leading method of solving the stability issues of grid-connected renewable energy generation systems. Taking the grid-connected system of direct drive permanent magnet synchronous generator (D-PMSG) as an example, the characteristics and application scope of the existing Nyquist stability criterion were analyzed. In order to make up for the deficiency of the existing impedance stability criterion, a quantitative stability criterion based on the fitting of fractional polynomial function of impedance characteristic was proposed, which applied port impedance characteristics of wind turbine derived or measured by equivalent fitting theory of fractional polynomial function. Within the fitting frequency band, the fractional polynomial was equivalent to original impedance characteristic. The oscillation frequency and the damping level of the given system were calculated by finding the zero point of fitting polynomial, which could analyze quantitatively the stability characteristics of the system. Finally, the correctness and effectiveness of the fractional polynomial fitting criterion were verified by theoretical analysis and time domain simulation.

direct drive permanent magnet synchronous generator (D-PMSG); sequence impedance characteristic; polynomial fitting; sub/super-synchronous oscillation; stability criterion

10.12096/j.2096-4528.pgt.19140

TM315；TM712

国家重点研发计划项目(2018YFB0904003)；国网新疆电力公司科技项目(SGXJDK00DJJS 1800169)。

Project Supported by National Key Research and Development Program of China (2018YFB0904003); Science and Technology Project of State Grid Xinjiang Electric Power Company (SGXJDK00DJJS 1800169).

2019-09-23。

(责任编辑 尚彩娟)