基于Perona-Malik模型改进的图像去噪方法

殷素雅，唐泉，张新东

(新疆师范大学数学科学学院，新疆 乌鲁木齐 830017)

图像去噪是图像处理领域的主要研究课题之一，现在广泛应用于医学影像、天文学、遥感成像等领域。为了获得高质量的图像，并便于进一步地图像分割、识别和分析，研究者们提出了一套基于偏微分方程的图像去噪方法。其中，基于偏微分方程的图像去噪方法有两大类：第一类是基于变分法的思想，首先确定图像的能量泛函，其次利用梯度下降法最小化能量泛函，使含噪图像达到平滑状态，其中全变分(total variation，TV)模型体现了经典变分法的思想；另一类是基于扩散偏微分方程的方法，该方法是以物理中的热传导方程为基础，并把图像平滑和去噪的过程当成一个扩散的过程。然而，热传导方程的特点是在各个方向上扩散强度均匀，在图像去噪过程中，会模糊图像的边缘和其他细节特征[1]。为了在图像去噪的同时保护图像边缘特征的信息，1990年Perona等[2]提出了一种基于图像梯度特征的各向异性扩散偏微分方程(P-M模型)，P-M模型和数值实现方法的发展使非线性扩散方程在图像去噪中得到推广，并成为研究热点[3]。1992年，Catté等[4]提出了正则化的P-M模型(CLMC模型)，消除了P-M模型的病态性质。

本文根据P-M模型的各向异性扩散特性，通过分析发现了其在图像边缘附近的逆扩散系数接近于0。为了提高图像的视觉效果，需要在图像边缘附近使用适当的扩散函数对图像边缘特征进行锐化。为实现在有效去除噪声的同时又能保留大量细节信息[5]，在P-M模型的基础上，结合了具有边缘锐化作用的Shock滤波器，通过调整扩散程度和冲击增强程度，在图像边缘锐化的同时减少对图像噪声的增强作用，并提出了新的扩散系数。新模型在抑制阶梯和斑点伪影的同时保护了边缘[6]。

1 P-M模型

由于热扩散方程是各向同性扩散，无法较好地保持图像的边缘和细节信息[7]，为了克服这一缺点，Perona和Malik提出了非线性的各向异性扩散方程，即P-M方程。该方程利用图像的梯度作为边缘检测算子，在去噪的同时可以保护图像边界信息[8]。数学模型定义如下：

(1)

同时Perona和Malik提出了各向异性扩散系数g(|u|)的两种表达形式：

g1(|u|)=exp [-(|u|/K)2]，

(2)

(3)

其中，K是梯度阈值。

2 一种耦合冲击滤波器的各向异性扩散模型

2.1 冲击滤波器

Osher等[10]提出了一种基于双曲方程的冲击滤波器用于图像增强，表达式为：

(4)

其中，η代表图像梯度的方向，符号函数sign(·)定义为：

(5)

式(4)是一个各向异性滤波器，不沿着等照度线(边缘)的切线方向进行任何处理，而是沿着梯度方向进行冲击以增强图像边缘。如果图像中存在噪声，冲击滤波器不能准确地分辨出噪声拐点和边缘拐点，导致在增强边缘的同时，噪声也会增强[11]。为了解决上述问题，Alvarez等[12]提出结合冲击滤波器和各向异性扩散(Shock Filter and Anisotropic Diffusion)的偏微分方程，该方程利用高斯函数平滑图像的二阶法向导数，同时结合方向平滑算子uξξ增加了对噪声的鲁棒性。模型表达式如下：

(6)

2.2 模型分析

本文在分析P-M模型和冲击滤波器的优缺点的基础上，提出了一种耦合冲击滤波器的各向异性扩散模型，模型表达式如下：

(7)

其中，α,β是非负常数，分别用于控制扩散程度和冲击增强程度；γ是常系数；η是梯度方向；ξ是切线方向。

新模型采用高斯卷积平滑含噪图像，计算法线方向的二阶导数，提升区分噪声拐点和边缘拐点的能力，提高模型的噪声鲁棒性。通过选取合适的参数α和β，新模型在抑制噪声，增强边缘细节和防止过冲之间有较好的平衡，在图像去噪的同时可以较好地保护图像的边缘。

本文结合P-M模型去噪和冲击滤波器增强图像边缘的特点，在对图像去噪的同时增强图像的特征，避免损失边缘细节，从而有效去除噪声，保护图像边缘细节。

2.3 扩散系数函数的改进

g1(|u|) ,g2(|u|)是Perona等提出的两个经典扩散函数，曲线如图1所示，公式中的K是预先设定的边缘梯度的门限参数。本文中取K=10。

对于g(|u|)的设计一般满足下列3个原则[13]：

(1)g(|u|)是以|u|为自变量的减函数，并且存在g(|u|)>0；

(2)g(|u|)=0 (|u|→∞)；

(3)g(|u|)=1 (|u|→0)。

通过对各向异性扩散方程原理的分析，对于一幅图像，在图像同质区域内，|u|取值较小时，g(|u|)就会比较大；在图像的边缘处，|u|取值较大时，g(|u|)就会比较小，从而达到保存边缘信息去除噪声的目的[14]。在P-M模型提出的扩散系数中，要求在具有图像特征的位置降低扩散速度或不扩散；当图像中没有明显的特征时，增快扩散速度[15]。

通过对各向异性扩散函数特征分析，构造了如下扩散系数：

(8)

其中，k1,k2是梯度门限，如果该点的梯度大于门限，就会被认为是边缘而保留下来；如果梯度小于门限，就被认为是噪声被平滑掉。在这里k1=0.01 ,k2=0.10。

为了验证g3的有效性，通过绘制函数曲线进行对比分析，如图1所示。

图1 不同扩散函数图像Fig.1 Images of different diffusion functions

其中取梯度阈值K=10。从图1中可以看出，函数g(|u|)中当|u|趋于无穷大时，g(|u|)趋近于0。本文构造的扩散函数g3趋近于0的速度比g1、g2慢，用g3代替P-M模型中的扩散函数，发现当a=1时不利于图像的去噪；a=3时在图像梯度值较小的地方扩散过强，随着图像梯度值的增大不能较好地保护边缘；a=2.2时在图像特征弱的区域平滑程度变大，更加有利于含噪图像的平滑，在梯度值较大时对图像边缘有一定的保护作用的同时又能较好地去除噪声，使平滑次数大大减少。通过大量仿真实验，本文中a取值为2.2。

2.4 数值实现

时间间隔取为Δt；空间步长均为1；(i,j)表示图像中的离散点，得到本文模型离散后的迭代公式为：

(9)

(10)

对于冲击项，我们用中心差分格式求解uηη、uξξ，则有：

uxx(i,j)=ui+1,j-2ui,j+ui-1,j，uyy(i,j)=ui,j+1-2ui,j+ui,j-1，

3 仿真实验与结果分析

3.1 图像去噪处理客观评价指标

本文用均方误差(mean squared error，EMS)、信噪比(signal to noise ratio,RSN)、峰值信噪比(peak signal to noise ratio,RPSN)客观评价图像去噪的有效性。其中RPSN值越小，去噪效果越好；RSN值越大，图像失真越少；RPSN值越大，去噪能力越高。表达式见式(11)～(13)：

(11)

(12)

(13)

其中：M，N表示图像的长和宽，M×N表示图像中像素点的个数；I0(i,j)表示原始图像；I(i,j)表示去噪后图像；μ为I0(i,j)的均值。

3.2 实验结果与分析

仿真实验程序采用Matlab R2016a编写，本文采用256×256像素的标准测试图像Lena作为实验图像。在仿真实验中，取时间步长Δt=0.25。在本文模型中，选取σ=0.5，3×3邻域的高斯核，参数α=2.4，β=0.01，γ=0.01。图2是新模型与P-M模型分别使用扩散系数g1与g3处理后的图像去噪效果比较图，图像中所加噪声是均值为0，方差为0.01的高斯噪声。

图2 加入均值为0，方差为0.01的高斯噪声图像实验结果Fig.2 Experimental results of gaussian noise images with mean value 0 and variance 0.01

从表1和表2的实验数据可以看出，在使用扩散函数g2时，本文模型在P-M模型的基础上大大减少了迭代次数，同时提高了RSN和RPSN的值。本文提出的模型在均值误差、信噪比、峰值信噪比方面都要优于P-M模型。当添加均值为0，方差为0.01的高斯噪声时，本文模型使用扩散函数g3与使用扩散函数g2相比PSNR的值提高了约0.13 dB。当添加均值为0，方差为0.03的高斯噪声时，本文模型使用扩散函数g3与使用扩散函数g2相比PSNR的值提高了约0.17 dB。

表1 不同模型对Lena图像去噪效果的客观评价标准Table 1 Objective evaluation criteria of the Lena image denoising effect using different models

表2 不同模型对Lena图像去噪效果的客观评价标准Table 2 Objective evaluation criteria of the Lena image denoising effect using different models

在P-M模型和本文模型中，使用扩散函数g3比g2去噪效果好，其在运行时间、迭代次数、信噪比、峰值信噪比等方面的数据均优于P-M模型中提出的扩散函数g2。本文提出的扩散函数g3不仅提高了处理图像的平滑速度，而且提高了图像的去噪效果，大大减少了运行时间和迭代次数。

从图2中可以看出，经过P-M模型处理后的图像在平坦区域中产生了一些黑白斑点。表明P-M模型虽然可以锐化边缘，但不能有效地消除边缘处的噪声点，并且会模糊图像的边缘细节，本文提出的模型克服了P-M模型的一些缺点，有效减少了黑白斑点，并且保留和增强了图像的边缘和细节。本文模型较P-M模型和CLMC模型具有一定优势。

综上，本文提出的模型能够更好地保留原始图像的结构特点，抑制散斑效应，获得较高质量的去噪图像，同时增强了图像的边缘特征，并且在主观视觉效果和客观评价指标方面都具有良好的性能。

4 结语

本文结合冲击滤波器和P-M模型的优点，提出了一种耦合冲击滤波器的各向异性扩散的图像去噪模型并提出了一种新的扩散系数。与P-M去噪模型相比，本文提出的模型在噪声去除和图像特征保护之间取得了较好的平衡，弥补了经典P-M模型处理图像时的边缘锐化不足。在详细分析所提模型原理的基础上，经过离散化模型表达式给出具体实现的方法，最后通过实验验证了模型的正确性和有效性。