引领学生的数学理解走向深层——以苏教版四下《平均数》的教学为例

朱艳艳

平均数能再平均吗？对于这个问题，小学生会怎样来理解呢？近期，我市针对四年级学生进行了一次分类调查，其中有这样一道题：甲从A 地到B 地，去时的平均速度是60 千米/小时，回来时的平均速度是40 千米/小时，甲往返的平均速度是（ ）千米/小时。（A.60 B.50 C.40 D.48）这道题全市的得分率仅为4.7%，绝大部分学生选B，认为往返平均速度就是用来时平均速度加上回时平均速度的和除以2。由此不难看出，相当一部分学生认为平均数能再平均。他们对于平均数的运用还停留在简单的方法运用上，对情境中平均数的意义的理解不够，对平均数的深层理解较缺乏。下面，笔者结合苏教版四下《平均数》一课的教学，就如何提高小学生对平均数的深层理解进行一些初步的探索。

一、关注“平均数”的深层理解

平均数的本质是代表性，它反映了一组数据的整体水平。平均数作为一种常用的统计量，具有一定的虚拟性和敏感性，有助于人们观察一组数据的情况。要让学生在具体情境中形成对平均数的深层理解，教师教学时不妨依托原有例题把问题引向深入。

【片段一：体悟“平均数”的意义及虚拟性】

以男女生套圈游戏导入新课。首先呈现男女生套圈成绩统计图，引导学生讨论出两种求套圈平均成绩的方法：一种是算术计算；一种是移多补少。这时，教师可以用电脑演示移多补少的过程（如图1），并将结果呈现出来。

（图1）

师：平均数7与王宇套中的个数7一样吗？

学生小组讨论后交流：平均数7 反映的是这一组数据的整体情况是虚拟的数据，而王宇的7 是真实的数据。让学生初步感知平均数7具有一定的虚拟性。

师（出示女生组套圈的平均情况）：女生组套圈的平均成绩是6 个，女生组就一定有人套中6个吗？

学生发现女生组没有一个人套中6 个，从而深刻理解了平均数的意义。

【片段二：体悟“平均数”的敏感性】

师：男生组只有4 个人，这时又来了一个男生，如果让这个男生套圈，男生组的平均成绩会有变化吗？（小组讨论，尽量把各种情况都考虑到）

师：如果这时将男生组的整体水平与女生组的整体水平进行比较，可以怎么比？

生1：可以把男生组的平均成绩算出来再比。

生2：两组都有5个人，也可以只比总数。

师：是的，比较整体水平时要灵活，当两组人数相同时也可以只比较两组数据的总数。

师：如果后来的这个男生一个都没套中，男生组套圈的平均成绩是多少？

生：（6+9+7+6+0）÷5=5.6（个）。

师：这样一看，男生组来了一个人，整体水平反而比女生组差了。这说明什么？

通过上述教学，让学生感知平均数的敏感性。当另一个数据出现时，平均数会发生变化，当出现的另一个数据是极值（特别大或特别小的数据）时，平均数的变化就会特别大。

二、融合统计量的整体感悟

平均数、中位数和众数都是用来刻画数据平均水平的统计量，它们各有特点。虽然苏教版教材把中位数和众数放到了中学去进行教学，但不影响我们在教学中渗透一些初步的相关知识，让学生在建构学习思维的过程中先见森林，再见树木。

【片段三：感悟统计量的多样性】

师（出示）：小区凉亭里有5 个人，平均年龄是40岁，这几个人的年龄可能是多大？

学生的回答大致分为三类：（1）可能有40多岁的，也可能有30 多岁的，应该都在40 岁左右；（2）我们只能知道这5 个人的年龄和是200岁，加起来是200 岁就行；（3）我们知道平均数在最高值和最低值之间，但是只知道平均数，不太好猜。

师：这5 个人的年龄分别是1 岁、2 岁、65岁、65岁、67岁。

生：这样看，通过平均数40 真的不太能感觉到这组数据的总体情况。

师：是的，在统计中，不仅有平均数，还有众数和中位数等统计量，大家有兴趣的课后可以去了解一下，我们下节课作简单交流。

在上述教学中，我们可以看到，持第一类答案的学生居多，而持第二类和第三类答案的学生少之又少。为什么会这样呢？这源于学生对平均数的趋中性的理解定势，还在于学生对众数和中位数这样的统计量几乎一无所知。因此，教师试图在教学中把学生对平均数的理解引向更深的层次，使他们在知识的森林中深入认识平均数这棵树。

三、整合数学策略方法的教学

在教学“解决问题的策略”时，假设是作为一种策略出现的，因而在平均数教学中，当条件不充分时，可以整合利用假设、举例等方法帮助学生深层理解平均数。

【片段四：灵活运用策略】

师（出示）：四（1）班同学的数学平均分是90 分，四（2）班同学的数学平均分是94 分，两个班同学的数学平均分是多少？

生：把两班平均分加起来再除以2就行了。

师：大家认为这个方法可以吗？

生1：好像可以。

生2：好像不可以，现在两个班的人数都不知道。

师：那怎么办？以前我们学习探索规律，当条件不充分时，可以用假设的方法举例子。

学生尝试列举两班人数并计算。

学生从举例中发现，当两个班人数不同时，不能用两班平均分相加再除以2；当两个班人数相同时，可以用两班平均分相加再除以2。

师（继续出示）：甲从A 地到B 地，去时的平均速度是60 千米/小时，回来时的平均速度是40 千米/小时，甲往返的平均速度是（ ）千米/小时。这道题与上一题有什么异同点？

生：这道题A地到B地的路程是一样的。

师：这道题可以怎么来假设呢？

学生反馈：假设A地到B地的路程是240千米，甲去时的时间就是240÷60=4（小时），回来的时间就是240÷40=6（小时），往返的平均速度就是（240+240）÷（4+6）=48（千米/小时）。

学生列举其他数据，发现都能得到相同的答案——48。

师：由上述解题过程可知，当问题中的条件不充分时，我们可以运用假设法举例解决问题（因是四年级学生，暂不研究分数解法）。

通过上述策略尝试，学生对平均数的理解从浅层走向深层。当下大家经常提到深度学习和高阶思维，其本质都是让理解走向深层，思维的深层提升才能引领学生数学核心素养的培养真正落地。