关于初中数学动点问题的解题策略分析

连兴铭

摘 要：动点问题，既是中考数学试卷中的一个热点，也是中考数学试卷中的一个难点。之所以会成为一个热点，是因为动点问题能够更为全面地考查学生的数学核心素养;而之所以会成为一个难点，是因为学生没有熟练掌握动点问题的解题策略。文章将在深入分析初中学生解答动点问题的现实困境的基础上，结合一些典型的动点问题案例，围绕“化动为静、数形结合和明辨类型”等三个方面，详细论述解答初中数学动点问题的一些有效策略。

关键词：初中数学;动点问题;解题策略

一、 引言

近年来，动点问题成为中考数学的一个热点，同时，也成为初中数学教学的难点，成为了初中数学教师研究的焦点。事实上，动点问题，不仅仅包括“点”动，还包括“线”动和“面”动等。追本溯源，动点问题起源于特殊图形，如，特殊角、等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形以及梯形等。因为这些特殊图形的特殊性质，所以产生了中考数学中形形色色的动点问题。因为动点问题是历年中考试卷中压轴题，综合性比较强，一道题目中会考查多个知识点，所以有相当一部分在解答动点问题类型的题目时，无从下手、经常失分。也正因为如此，动点问题成了广大初中数学教师研究的焦点。

二、 解决动点问题的困境

为了指导学生更为准确、更为有效地解答动点问题，首先，教师必须要明确学生解决动点问题的现实困境。唯有如此，教师才能够“对症下药”，才能够指导学生熟练掌握并灵活运用解答动点问题的有效策略。

（一）理不清数量关系

学生解答动点问题的关键在于理清题目中的数量关系。然而，相比于普通题目而言，动点问题中既有变量，又有常量。不仅如此，这些常量与变量之间的关系也若隐若现。正因为如此，有相当一部分学生在解答动点问题类型的题目时，自始至终理不清题目中的数量关系。而这也是大部分初中学生解答动点问题时所面对的一大困境。

例题一：已知在平行四边形ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°，当点P从点A沿边AB向点B运动，速度为1cm/s，时间为t（s）。当t为何值时，△PBC为等腰三角形？

在解答这道题目时，许多学生觉得无从下手。追本溯源，是因为这部分学生理不清这道题目中的数量关系。

（二）打不开空间思维

相比于普通问题而言，动点问题中所描述的情景是运动的，因此，学生在解答这类问题的时候，必须要展开丰富的想象力。然而，因为部分学生空间想象能力有限，所以导致他们对动点问题中所描述的运动情景理解不够透彻。正因为如此，打不开空间思维是部分学生解答动点问题所面临的现实困境之一。

例题二：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P由点A出发，沿AC向C运动，速度为2cm/s，同时，点Q由AB中点D出发，沿DB向B运动，速度为1cm/s，连接PQ，若设运动时间为t（s），当t为何值时，（0

在解答这道题目时，因为题目中没有给出相对应的图形，所以有许多学生仅仅根据文字描述，无法想象题目中所描述的动点问题。如此一来，学生无法打开思维空间，解决动点问题也就困难重重。

（三）找不到解题入口

无论是解答何种类型的题目，学生都必须要找准解题入口。在解答动点问题时，部分学生之所以找不到解题入口，主要是因为他们对动点问题的类型辨识不清。

根据动点的背景不同，可以将动点问题分为在三角形边上的动点、在特殊四边形边上的动点、在直线上的动点以及在抛物线上的动点等。尽管处于不同图形上的动点，其解题方法不尽相同，但是，处于相同图形上的动点，其解题方法是大同小异的。

因此，在解答动点问题时，学生无法辨识题目类型的根本原因，是对动点问题的各种类型认识不够，而这也是初中学生解答动点问题所面临的一个主要困境。

三、 解决动点问题的策略

既然“理不清数量关系、打不开思维空间以及找不到解题入口”等，是初中学生解答动点问题所面临的主要困境，那么，教师就要想方设法指导学生梳理题目中隐含的数量关系、拓展学生解答题目的思维空间以及找准解答题目的入口等。

（一）以静制动，梳理数量关系

尽管动点问题的关键在于“动”，但是，如果学生的注意力完全集中在“动”的情景之中，那么，学生是很难理清题目中所隐含的数量关系的。因此，教师要想方设法“化静为动”，进而“以静制动”并脉络清晰地梳理题目中的数量关系等。事实上，动也好，静也罢，都是相对而言的，动点问题中的“动”同样也是相对的。

教师在指導学生“以静制动”解答动点问题时，首先要将题目中的“动点”固定下来，固定在某个位置。之后，在“静”中探索、总结、归纳“动”的基本规律。紧接着，通过不断探索、完整总结与系统归纳等，学生就可以逐渐猜想以及验证图形在运动过程中是否存在某种共同的特征。最后，学生就可以将一个完整的动态情景“分割”成几个彼此关联的静态情景。聚焦静态情景，学生就可以清晰地梳理出题目中所蕴含的数量关系。

例题三：如图，有一张矩形的纸片，在这张矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，现在，我们将这张矩形的纸片折叠。折叠之后，点D的对应点，记为点P，而此时产生的折痕则记为EF。紧接着，将折叠过的纸片还原，如果点P正好落在矩形纸片的内部，且点E和点F分别在矩形纸片的AD和DC边上，那么，AP的最小值为多少？

为了引领学生准确解答这道与“矩形”相关的动点问题，教师可以引领学生在深入浅出分析题目主旨大意的基础上，“化动为静”准确作答，具体过程如下：

师：同学们，在这道题目中存在几个动点，分别是什么？

生1：存着一个动点，是P点。

生2：不对吧！P点是矩形纸片对折之后产生的一个新点，尽管它是一个新点，但是，它并不是一个动点，而是一个相对固定的点。

生3：是的，P点不是动点。我觉得矩形纸片中的E点和F点是动点。之所以如此，是因为P点的位置是随着E点和F点的变化而变化的。

师：是的，从严格意义上来讲，P点也是处在变化之中的，是一个动点。但是，P点是运动也好，变化也罢，都是因为E点和F点的变化而变化的。因此，相对而言，P点是一个固定的点，而E点和F点才是真正的动点。那么，我们如何才能让E点和F点，这两个动点“停下来”呢？

生1：我们可以先将两个动点中的其中一个固定下来，让另一个先动。相对而言，这样能够简化问题。

生2：说得有道理。如果我们先将E点固定下来，那么，P点的运动轨迹就是以E点为圆心，以ED为半径，做一个圆周运动。如此一来，我们就会发现，当点F越靠近点C时，AP会越来越小。而当点F与点C重合时，AP的值最小。

生3：对呀！当F点与C点重合时，这道题也就“化动为静”了，点F就“停止运动了”。此时的点P在以C（F）为圆心，CD为半径的圆上面做运动，所以当点A、P、C共线时，AP值最小，AP=5-4=1。

由此可见，教师指导学生“以静制动”，能够将动点问题转换成普通问题，能够化难为易、化繁为简，学生解答动点问题，也就成为水到渠成的事情。

（二）数形结合，拓展思维空间

我国近代著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事休。”数形结合是数学学习过程中一条必不可少的手段。事实上，在解答动点问题时，有相当一部分学生是因为受到思维空间的限制，所以导致解题困难。而数形结合正就是打开这些学生思维空间的一把金钥匙。一旦教师以数形结合为钥匙，打开了学生的思维空间，那么，就可以有效突破解答动点问题的瓶颈。

例题四：如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点。P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直線PM交AB的延长线于点D。

（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）;

（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值。

在这道题目中，P点是一个动点。很显然，教师在引领学生分析这道题目中的数量关系时，不仅要字斟句酌地研读文字，还要一丝不苟地观察坐标图。而这，正是教师引领学生通过数形结合，拓展思维空间，解答动点问题的一个具体过程。当然，在教育信息化的今天，教师还可以利用玲珑画板等信息化手段，真正让动点问题“动”起来。

（三）明辨类型，找准解题入口

前面提到，尽管不同类型的动点问题，其解题方法也不尽相同，但是，同一种类型的动点问题，其解题方法是大同小异的。因此，初中教师在引领学生解答动点问题时，还要学会明辨类型，即这些动点问题是线段和、线段差中的动点，还是面积问题中的动点，是三角形中的动点，还是四边形中的动点等。当学生明辨了动点问题的类型之后，就可以找准解题入口。

例如，如果是线段和、线段差中的动点，那么，学生可以尝试利用垂线段最短的问题，解决最大值或最小值的问题，也可以尝试利用三点共线的特征解决最大值或最小值的问题，还可以尝试利用轴对称变换解决最大值或最小值的问题，也可以尝试利用旋转变换解决最大值、最小值的问题等。

又如，如果是面积问题中的动点，那么，教师既可以引领学生将动点与图形面积的定值作为解题入口，也可以引领学生将动点与图形面积的比值作为解题入口，还可以引领学生将动点与图形的重叠面积作为解题入口，也可以引领学生将动点与图形面积的最大值或最小值作为解题入口等。

当学生逐渐学会了通过明辨动点问题的类型，寻找解题入口之后，解答动点问题的难度就会明显下降，解答动点问题的效度就会显著提升等。

四、 结语

综上所述，化动为静、数形结合以及明辨类型是初中学生解答动点问题的有效策略。在解答动点问题时，这三种策略并不是“孤军作战”，而是“协同作战”，在化动为静的过程中，学生既要明辨类型，还要数形结合;在明辨类型的基础上，还要化动为静以及数形结合等。当然，为了切实提升学生解答动点问题的能力，教师还必须要精心设计形形色色的关于动点问题的练习题，并以这些动点问题练习题为抓手，组织学生有的放矢、卓有成效地练习，让学生在高效的练习中深谙方法、熟能生巧、融会贯通等。

参考文献：

[1]陈韧.初中数学动点问题的解题策略分析[J].课程教育研究，2018（6）：63

[2]沈小生.初中数学动点问题的解题策略研究[J].理科爱好者：教育教学版，2015（2）：47.