基于Kanai-Tajimi谱的高架交界墩横桥向地震动响应分析

唐朝荣，葛新广

(1.广西路桥集团勘察设计有限公司，广西 南宁 530200；2.广西科技大学 土木建筑学院，广西 柳州 545006)

0 前 言

高架桥具有施工简单、节省土地及造价低的特点，而受到工程界的欢迎，全国随处可见此类桥梁，但该类桥梁结构属于典型的“头重脚轻结构”，地震动对其安全影响较大[1-2]。通过对近30年的大地震桥梁破坏情况的统计研究表明，作为抢险救灾生命线的桥梁工程在每次大地震中都受到严重破坏，导致救灾工作不力，其中高架柱式桥墩更容易发生根部的剪切破坏[3]，如2008年我国汶川地震中数座高桥发生了侧向倒塌。桥梁结构抗震安全性设计及分析一直是世界各国桥梁工程亟需解决的问题之一[4]。

我国桥梁众多，且是个地震多发的国家，桥梁抗震一直是工程界的研究重点[2-3]。宋黎明等[5]利用Sap2000软件研究了高烈度地震区薄壁墩刚构桥梁在时程地震动曲线下的响应分析，研究表明地震作用下，墩顶侧向位移大、墩底地震动剪力大。何雄君等[6]对兰州西固黄河大桥的横向抗震体系进行了研究，基于Sap2000软件及人造地震波激励下的分析表明，在不同约束条件下，斜拉桥的地震动响应会不同，且挡块可显著降低墩底内力。以上研究，地震输入均为地震动时程，即为确定性激励，而实际地震动具有时间、地点和强度的随机性。研究桥墩基于随机激励下的地震动响应分析至关重要。

自从20世纪40年代开始，随机激励模型已成为研究结构地震动响应的重要手段[7-8]。Kanai[9]和Tajimi[10]通过对大量地震时程记录的研究提出了过滤白噪声激励模型，即为K-T谱随机模型，该模型将基岩看做白噪声随机激励，而场地土看做过滤器，可比较准确地模拟地震动对地面运动的影响，该模型也是其他复杂地震动模型的基础，有个广泛的工程的应用[11-12]。

大跨度桥梁的主桥与引桥过渡的交界墩，受力复杂，是地震中震害比较严重的部位。本文以广西一城市高架桥的交界墩为研究背景，研究其基于随机地震动激励下的地震动响应，以指导桥梁抗震设计。

1 工程概况

广西柳州某高架桥，依据《公路桥梁抗震设计规范》(JTGB02-2013)[13]，按7度设防，场地土为中硬土。主桥采用3跨预应力连续刚构箱梁桥(55 m+90 m+55 m)，桥宽为19.75 m，单箱双室截面；引桥采用横向7片20 m跨度的简支小箱梁组成。主桥中墩采用双薄壁墩，主、引桥交界墩采用边长为2.0 m的正方形的双柱墩，墩高27.5 m。主桥采用球形橡胶支座，引桥采用板式橡胶支座。交界墩参数如图1所示。

图1 交界墩构造图及计算简图(单位：cm)

2 桥墩地震动运动方程

2.1 基本计算参数

根据结构动力学的离散原则，交界墩以系梁和盖梁为横向系，立柱为竖向系，其等效成双柱三横梁的框架结构，利用结构力学求出其横向抗侧刚度k1-k3。根据横向系的拉结作用，交界墩最后等效成如图2中所示的m1-m3的3个质点，质点质量取横向系和对应立柱的质量。桥墩采用钢筋混凝土材料，其阻尼按瑞雷阻尼计，阻尼比取0.05。上部结构通过支座与交界墩盖梁相连，故主桥及引桥分别等效成2个集中质点；引桥侧质点的质量取20 m跨度简支梁的总质量的50%。抗侧刚度k4、k5分别按照所采用支座的力学参数计算获得;支座的采用橡胶材质，通过阻尼比来计算c4及c5；本文研究阻尼比变化对桥墩响应的影响，c4及c5参数待定。

结构地震动计算参数见表1。

表1 结构振动基本参数

2.2 桥墩地震动方程

由结构动力学，建立桥墩结构基于地震动的矩阵方程：

(1)

地震动采用Kanai-Tajimi随机激励模型，其滤波方程为[9-10]：

(2)

(3)

(4)

式中，Sδ为地震动强度常数，δ(τ)为Dirac函数。

令：

(5)

联立式(1)～(3)：

(6)

式中：

式中，o1为元素为零的行向量。

3 桥墩结构动力响应统一表达式

引入状态变量：

(7)

方程(6)改写为：

(8)

式中:

基于复模态法[7]，方程(8)存在左、右特性向量U、V和特征值矩阵P使之复模态解耦，即特征向量P为对角阵，其与特征值矩阵存在如下关系：

(9)

式中，P的实部为正值。

引入复模态广义变换[7]：

y=Uz

(10)

式中，z为复模态广义变量。

将式(10)带入式(8)：

(11)

左特征向量VT左乘式(11):

(12)

式(12)经整理为：

(13)

把式(9)带入式(13)，并整理为：

(14)

由于P为对角阵，则式(14)有分量形式：

(15)

式中，zi,ηi,pi分别为z,η,P的分量。

由式(5)、(7)、(10)及(15)，则桥墩第k个质点处的位移xk和速度：

(16)

(17)

式中，uk为右特征向量矩阵的第k行向量，桥墩各个质点处响应的强度系数：

λk,i=uk,iηi

(18)

式中，uk,i为U的第k行第i列元素。

为便于后文推导，由式(16)、(17)可统一表示为：

(19)

式中，l代表响应量，其第i个响应分量为：

(20)

式中，各响应的强度系数sl,i见式(18)。

4 桥墩质点响应的方差计算

由式(19)及随机振动的协方差定义[7]，响应Sl的协方差为：

(21)

由式(20)，则式(21)中的分量：

(22)

把式(4)带入式(22)：

(23)

利用Dirac 的函数性质，式(23)改写为：

(24)

对式(24)积分：

(25)

由式(39)及(43)，基于Kanai-Tajimi谱的桥墩质点处动力响应协方差：

(26)

由随机振动理论[9]可知，当τ=0时，桥墩第j个质点的位移、速度的响应方差：

(27)

(28)

公式(27)～(28)给出了桥墩各质点处位移及速度的解析解且为完全平方法解(CQC)，且表达式较为简明。

5 算 例

本项目按7度设防，场地土为中硬土，则K-T谱的参数为ξg=0.8,ωg=16.5rad/s，S0=0.0069m2/s3。 阻尼是耗能的，因此，分析桥墩支座的阻尼比对桥墩各质点侧向位移及桥墩内力的影响。桥墩支座阻尼分别取0.05、0.1、0.15、0.2、0.25工况下的位移和速度对比图如2～3。

由图2～3可见，随着桥梁支座阻尼比的增加，桥墩各质点的位移、速度协方差均较大减小，因此，支座阻尼对于桥墩抗震效果影响明显。

图2 桥墩质点位移方差与支座阻尼比关系

图3 桥墩质点速度方差与支座阻尼比关系

6 结 论

通过对高架桥交界墩在地震动下的动力方程的精确建模，给出了其在K-T谱随机激励下位移和速度的简明解析解，结果如下。

1)利用随机振动理论对桥墩基于随机地震动激励下的振动响应进行分析，可较准确地描述桥墩实际经受地震的响应，为其安全性设计提供依据。

2)本文将K-T谱的滤波方程与桥墩的动力方程联立，可将复杂的地震动激励精确转化为白噪声激励，简化分析，提高计算效率。

3)桥墩支座阻尼比对桥墩变形及内力影响较大，抗震设计应采用阻尼比较大的支座。

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