基于Info-Gap的重力式挡土墙的鲁棒性分析

崔亚军 王法军 贺 鹏 郑程程 王凤举

(1.山东高速路桥股份有限公司，山东济南 250021；2.山东科技大学土木工程与建筑学院，山东青岛 266590；3.山东建筑大学，山东济南 250101)

0 引言

重力式挡土墙是当今国内外应用最为广泛的一种挡土结构，其结构简单、施工方便。传统挡土墙稳定性分析常采用以安全系数为度量指标的定值法，然而由于岩土力学参数的不确定性与变异性[1-2]，使得基于确定性设计变量的设计结果对系统不具有或很少具有鲁棒性，导致结构后续产生问题。

而挡土墙稳定性的不确定性分析方法研究仍处于起始阶段[3-4]，现有研究成果多数是在已知工程设计和影响因素具有不确定性前提下[5-7]，计算重力式挡土墙满足设计稳定功能的概率可靠度，以此判断重力式挡土墙的稳定性。

Juang[1-2]最早将鲁棒性这一概念引入岩土工程，并对黏土中的支撑开挖进行了岩土鲁棒性设计分析[8]。Ben-Haim[9-11]提出的Info-Gap理论也为该研究奠定了基础。苏永华等[12]根据地下结构输出响应模型中不确定参量可能的取值范围，基于Info-Gap理论对某隧道衬砌的稳健性进行了分析。本文综合考虑了重力式挡土墙的倾覆失稳和滑移失稳两种失效模式，提出了优化重力式挡土墙稳定性设计的理论与方法。

1 基于Info-Gap理论的重力式挡土墙鲁棒性分析

1.1 Info-Gap决策理论

(1)

其中，ψ(t)为决定封套形状的已知函数，基于先验信息来选择，不确定性参数α决定封套大小。

gj(d,X)≥0j=1,2,…，q

(2)

1.2 重力式挡土墙稳定的鲁棒性评价模型

重力式挡土墙稳定性最直接的描述方法是安全系数方法，不论何种失效模式分析所得安全系数均不得小于安全系数限值，因此，满足重力式挡土墙稳定性的期望功能即为重力式挡土墙安全系数大于工程所需安全系数限值：

K=min{Ki(i=1,2,3,…,n)}≥K标

(3)

式中：Ki为按第i种失效模式计算的重力式挡土墙安全系数；n为重力式挡土墙失效模式总数；K标为期望的安全系数限值，由文献[13]确定。

当重力式挡土墙满足预定功能式(3)时，不确定参量存在一个允许不确定性变化幅值即鲁棒可靠度指标，不确定参量包括设计变量与设计参数[14]。重力式挡土墙稳定安全的鲁棒性评价指标是安全系数限值、设计变量及设计参数的函数，可表示为

(4)

(5)

1.3 重力式挡土墙功能输出响应模型

重力式挡土墙稳定安全系数必须满足其预定功能，而安全系数Fs则是通过设计变量q和设计参数u来反映的，因此，为确定设计参数的允许不确定性变化幅度，需建立重力式挡土墙安全系数与设计变量及设计参数的关联模型。对于重力式挡土墙的稳定性验算，墙体倾覆与墙体滑移是最主要的2种失效。本计算着重针对这2种失效模式展开。(见图1)

图1为我国《建筑地基基础设计规范》(GB 5007—2011)[14]中典型重力式挡土墙结构示意图。假设墙底黏聚力与墙底摩擦系数分别为ca与μ，由图1所示可分别建立重力式挡土墙墙体抗倾覆与抗滑移2种失效模式的安全系数。

图1 重力式挡土墙示意图

(6)

(7)

式中：Fs1为挡土墙抗倾覆稳定安全系数；Fs2为挡土墙抗滑移稳定安全系数；G为挡土墙每延米自重，kN；Gx为挡土墙自重在水平方向上的分量，kN；Gz为挡土墙自重在竖直方向上的分量，kN；x0为挡土墙重心与墙趾的水平距离，m；Eaz为土压力在竖直方向上的分量，kN；xf为土压力作用点与墙趾的水平距离，m；b为基底的水平投影宽度，m。

1.4 重力式挡土墙稳定的鲁棒可靠度指标

1.4.1 确定不确定性参量及其名义值

重力式挡土墙不确定参量可由重力式挡土墙稳定安全输出响应模型式(5)和不同失效模式下重力式挡土墙安全系数计算公式即式(6)—式(7)确定。设计变量q包括墙顶宽度a和墙底宽度b，表示为q[a,b]；设计参数u包括墙后土体重度γs、墙后土体内摩擦角φ′、墙背与土体之间摩擦角δ、墙底与地基之间黏聚力ca，均为随机变量，服从正态分布，可表示为μ={γs,φ′,δ,ca}。

实际工程中，设计参数一般采用实测区间数(称为真实值)表示，即

μ=[ul,uu]

(8)

式中：ul为设计参数下限，uu为设计参数上限。以设计参数之区间数的中值作为其名义值，即

(9)

1.4.2 确定重力式挡土墙鲁棒可靠度指标

重力式挡土墙鲁棒可靠度指标要求满足重力式挡土墙稳定安全的预定功能。具体分析如下。

(1)给定不确定性参数α的初始值α0。由于α∈[0,1]，因此不确定性参数的初始值可取该区间中值，即α0= 0.5。

(2)确定不同失效模式下重力式挡土墙安全系数Ki。由于设计参数采用区间数表示，可采用区间数学理论中的区间组合分析方法[15-17]进行计算。利用式(6)—式(7)所得安全系数仍为区间数，即

(10)

(3)为保证重力式挡土墙稳定的鲁棒性，必须保证式(4)恒成立，即

minKi(α)=min[KiL]≥K标

(11)

可按下述进行迭代计算[14]：

①如果F(αn)≤eps(eps为迭代误差，取eps=0.0001,n为迭代次数)，则迭代结束。

②对于F(αn)≥eps的情况，如果minKi(αn)

至此，建立出基于Info-Gap理论的重力式挡土墙鲁棒性设计方法。

2 工程验证与讨论

为分析挡土墙的鲁棒性设计方法，从文献[18]选取一重力式挡土墙工程案例。图2为所选重力式挡土墙示意图，不考虑墙底与地基之间摩擦力。图中：H为挡土墙高度；G1与G2分别为墙体三角形部分与矩形部分重度；a与b分别为墙顶宽度与墙底宽度，Pa为墙后土压力；ca与δ分别为墙底黏聚力和墙背与土体之间摩擦角；α为墙背与水平方向夹角；λ为墙后土体倾斜角度。具体几何和物理力学参数为：H=6.0 m，λ=10°，α=90°，墙体重度γwall=24 kN/m3；墙后土体重度γs、墙后土体内摩擦角φ′、墙背与土体之间摩擦角δ、墙底与地基土之间摩擦系数均为随机变量，服从正态分布。

图2 工程案例示意图[18]

根据文献[19-21]给出的常见岩土力学参数变异系数取值范围，结合文献[18]基本参数取值情况，可确定本工程案例基本岩土力学参数取值，见表1。

表1 挡土墙设计基本工程参数取值

根据式(6)、式(7)可得该重力式挡土墙墙体倾覆与墙体滑移2种失效模式的安全系数与功能函数。

(12)

(13)

式中：A1与A2分别为墙体自重G1与G2作用点距离墙趾的水平距离；Aav与Aah分别为墙后土压力Pa作用点距墙趾的竖直距离与水平距离；Pah与Pav分别为墙后土压力Pa在水平方向与竖直方向分力[18]。

依据《建筑地基基础设计规范》(GB 50007—2011)[14]，优化设计中挡土墙基本可控设计参数取离散值(见表2)。

表2 重力式挡土墙基本设计参数取值范围

2.1 计算与结果分析

用本文方法针对图3中重力式挡土墙确定性设计变量组合结果(a=0.2 m，b=2.5 m)进行分析计算，具体过程如下：

根据本稳定性分析的结果可判定重力式挡土墙在该设计变量组合(a=0.2 m，b=2.5 m)下是稳定安全的，不会发生倾覆或滑移破坏。计算结果与文献[22]中对该重力式挡土墙算例[18]的设计分析一致。

2.2 讨论

上述分析只是本方法应用于设计变量取某一设计组合值条件下重力式挡土墙稳定计算与评价的被动分析，只能对已建工程稳定与否进行判定，但对改变挡土墙具体尺寸(墙顶宽度、墙底宽度)并使其满足重力式挡土墙稳定要求是无法说明的，这对处于设计阶段的工程是具有经济意义的。

图3 重力式挡土墙底宽与鲁棒可靠度指标的关系

图3表明，相较于设计变量a(挡土墙顶宽)，重力式挡土墙的抗倾覆稳定性对b(挡土墙底宽)的敏感性较高，增加b可显著提高其鲁棒可靠度；但存在一临界值b0，即挡土墙底宽b

图4 重力式挡土墙鲁棒可靠度与经济成本关系

由图4可知，重力式挡土墙鲁棒性水平随着经济成本的增加而显著提高，且挡土墙抗倾覆失效模式对经济成本的敏感性较高；在经济成本一定的情况下，适当增大挡土墙底宽b，降低顶宽a，可提高重力式挡土墙的整体鲁棒性水平。表3为满足重力式挡土墙鲁棒可靠度水平的临界设计变量组合及相应的经济成本。

表3 重力式挡土墙鲁棒可靠度设计结果

2.3 对比分析

针对图3中重力式挡土墙不同设计变量，根据式(12)、式(13)两功能函数，运用一次二阶矩法对图3中可能的设计变量组合进行结构失效概率计算。取重力式挡土墙倾覆破坏为二级延性破坏，滑移破坏为三级延性破坏，两种失效模式对应的目标可靠度指标分别为3.2与2.7，相应的失效概率分别为0.00069与0.00350[23]。计算所得重力式挡土墙失效概率Pf1与Pf2如图5所示。

图5 两失效模式下重力式挡土墙失效概率

根据图5中挡土墙失效概率计算结果，结合其失效概率约束条件，即Pf1=0.00069，Pf2=0.00350，可确定重力式挡土墙在设计参数a=0.2 m,b=2.1 m下对应的结构失效概率为：Pf1=1.31×10-4<6.9×10-4,Pf2=2.05×10-4<3.5×10-4，满足可靠度要求；对应经济成本为：C=6.9 m3/m。其中，重力式挡土墙可靠度设计控制失效模式为抗倾覆破坏。

与重力式挡土墙的鲁棒性设计结果(a=0.2 m，b=2.5 m)相比，两者的控制失效模式均为抗倾覆破坏；由图3亦可获知，当a=0.2 m,b=2.1 m时，α1=0.0420<<α实=0.15，即该挡土墙可靠度设计结果鲁棒性较差，极易发生倾覆破坏。

3 结论

(1)基于Info-Gap理论对重力式挡土墙稳定性影响因素的不确定性提出了新的度量方法，建立了重力式挡土墙稳定性评价的鲁棒可靠度指标，可较好地反映不确定参量动态变化对重力式挡土墙的影响。

(2)在重力式挡土墙的鲁棒性设计分析中，在满足其鲁棒性水平基础上，通过人为调控设计变量使所设计重力式挡土墙在工程应用中由被动应对变为主动处置，具有较高的鲁棒性可靠度。

(3)针对重力式挡土墙倾覆和滑移2失效模式，结合经济成本优化原则，得出不同设计变量组合下重力式挡土墙的鲁棒性水平，对比分析其可靠度设计结果，验证了该理论与方法的合理性与可行性。