Caputo分数阶微分方程的发展过程、求解和应用

【摘要】文章研究了关于Caputo分数阶微分方程的发展过程到边值问题的求解，并探索分数阶微分方程的脉冲边值问题的解的存在性、可解性。分数阶微分方程的不断发展为解决现实问题提出了更多切合实际的数学模型，本文给出了HIV-1动力学的应用，主要是验证了所获理论结果的有效性并为整篇文章做出总结。

【关键词】Caputo分数阶微分  微分方程  分数阶微分方程应用

1、研究背景

从1695年开始，Leibnitz给L' Hospital的信中就提到了分数阶微分的概念。作为一种新的数学理论和方法，分数阶微分方程和分数微积分解决了很多之前驻足不前的实际问题。实际上，分数阶微分方程改进了很多实际问题的数学模型，对无穷时滞、脉冲、耦合系统或者含不同算子的方程求解和解的存在性结论提供了很多研究空间。而本文的研究对象，就是Caputo型的分数阶微分方程、解的存在性及其应用。

2、Caputo型分数阶微分方程

2.1 普托型分数微分方程的非局部多点边值问题求解

在文献[1]中，作者对新的非局部多点边值问题，即Caputo型连续分数积分-微分方程解的存在性和唯一性进行了推导。其中研究对象为Caputo型分数积分-微分方程，在Riemann-Liouville的积分边界条件下，利用不動点定理得到了几个存在唯一性的结果。该方程如下：

并服从下述边界条件

其中cD（·）表示分数阶（·）的Caputo导数，I（·）表示Riemann-Liouville积分分数阶（·）， f：[0，1]×R3→R是一个给定的连续函数。

λ，ai，i=1，……，m是实常数。

在任意段（0，η）？奂[0，1]上考虑的带式条件可以解释为非局部点处未知函数值的线性组合ζ∈（0，1）。作者定义了Banach空间：

有如下范式

求解过程如下，引入算子F：X→X：

方程（2.1）-（2.2）的问题即可转换成（2.3），即如果F有不动点，那么原方程（2.1）-（2.2）有解。

另外，文中还定义了一些符号

其中△1和△由下式给出定义

因此通过收缩映射原理，即算子F将 映射到自身并通过不等式计算得出F是收缩映射后可以证明，解的唯一性由Thm2.1给出。Thm2.1 对于所有的，

L是Lipschitz常数，有

由收缩映射定理可以证明，在（2.6）假设下，当满足

时，分数阶微分方程（2.1）-（2.2）有唯一解。其中  由（2.4）式给出。

解的存在性则可以由下面两种方法给出。X表示一个满足范式     的

的空间

（是一个Banach空间）。

构造算子F：X→X：

方法一：令M是Banach空间X的一个有界非空凸闭集。构造算子满足如下性质：

对任意      满足，;     是紧凑且连续的，

是收缩映射。然后就有  使得     。

故由Thm2.2得出解的存在性（至少一个解）：

Thm2.2 假设     是一个满足（2.6）的连续函数，并且有以下假设成立：

如果满足：      （2.8）

那么方程（2.1）-（2.2）在上有至少一解。其中p由（2.4）给出，由（2.5）定义。

方法二：用Leray-Schauder类型求得解的存在性。在Banach空间E中，C是E的闭凸集，U是C的开集。算子    是一个连续的收缩映射（即  是C的一个紧凑的子集）。通过交换算子F`1、F2和不等式变换可以证明Thm2.3。

Thm2.3 存在一个函数满足      ，和一个不递减的亚齐次函数      ，其满足对于所有的

则边界问题（2.1）-（2.2）在[0，1]上有至少一解，其中由（2.4）定义。

故通过（2.8）和（2.9），得到方程（2.1）-（2.2）解的存在性。

2.2 含Caputo导数的非线性分数微分方程正解的唯一性和存在性

适当的初始边界条件对方程的正解具有重要意义。其中，含Caputo导数的非线性分数微分方程的正解也是一个主要的研究方向。在文献[2]中，作者就研究了以下分数边值问题（FBVP）：

C是Banach空间中的勒贝格可测函数。

研究提出了以下三个假设：（假设1）函数

在对t关于J上可测;  （2.11）

（假设2）存在常数 和实值函数

（假设3）存在常数     和一个实值函数

是一个有界的子区间。（2.13）

由假设3（2.13）为基础，可以将原始问题（2.10）转化为以下积分方程：

在      空间中构建积分算子F如下：

所以原始问题（2.10）是否有解的问题等价于在Br空间中算子F是否有不动点。实际上，因为F连续且Fu（t）≥0，所以F是收缩映射，可以用Banach压缩定理证明F存在唯一不动点。

正解的唯一性由Thm2.4给出：

Thm2.4 在以上三条假设（2.11）-（2.13）均满足的情况下，如果有

其中    ，则FBVP问题（2.10）在J上有唯一正解。

原始问题FBVP（2.10）的存在性由Thm2.5得出。

Thm2.5  是一个连续函数，（2.12）（2.13）成立。如果有

（2.16）其中，

那么问题（2.10）在J上有至少一个正解。

证明可以由构造积分算子A、B

用Arzela-Ascoli定理 Krasnoselskii不动点定理完成。

2.3 应用格林函数的具有积分边界条件的非线性Caputo分数阶微分方程的正解情况

如同前文提到，在研究边值问题时，特殊函数如格林函数的使用也是重要的研究方向。文献[3]中就讨论了一类具有积分边界条件的非线性Caputo分数阶微分方程的格林函数性质和该方程单解和多解的情况。作者研究了具有以下边界条件的方程：

对u有      ，其中     ，   由（2.19）给出，r和R是

而定义。所以，（2.17）的求解被转化成算子T的不动点存在性。

应用上下解的知识，下面给出方程（2.17）的上下解的定义：

如果满足 且φ满足

则函数φ被叫做作为（2.17）的下解;

如果满足 且    满足

则函数    被叫做作为（2.17）的上解。

应用Guo-Krasnoselskii不动点定理（证得T至少有一个不动点）和Leggett-Williams不动点定理（证明T知道有三个不动点），T的不动点存在性可以被证明。由上述方法可以得知方程（2.17）的解的唯一性和存在性。Thm2.6可以由Banach压缩定理证得。

3 Caputo分数阶微分方程的应用

Caputo分数阶微分方程的优势在于可以更加精确的描述有复杂时间和空间域值变化的情况，比如前几章介绍的无穷域、脉冲、拉普拉斯算子等不同类别。

文献[4]研究了Caputo意义下的分数阶传染病模型，通过研究一类具有细胞毒性T淋巴细胞（CTL）免疫响应的分数阶HIV-1模型的动力学行为。CTL的丧失会使得HIV病毒失去控制大量增殖。该分数阶模型是建立在整数阶的基础上推导而出的，并且用Lyapunov函数来得出关于稳定性的结论。

文章引入如下假设：（假设1）系统（3.1）的初值是

那么（3.1）的正解的存在性和唯一性由下列定理给出：

Thm3.1 设假设1成立，则在系统（3.1）中存在唯一正解，并且

是系统（3.1）的正不变集。

定理的证明通过（3.1）的解非负，再证明D是正不变集来完成。

Thm3.2 如果R0<1，那么系统（3.1）的无病平衡点E0=（x0，0，0，0）是全局渐近稳定的。

定理3.2的证明可以通过（3.3）寻找平衡点使得v0（t）径向无界从而满足全局渐近稳定的条件来完成。

Thm3.3 如果R1<1

定理3.3的证明可以通过（3.4）通过平衡条件使得V1（t）径向无界从而满足全局渐近稳定的条件来完成。

参考文献：

[1]Ahmad B， Ntouyas S K， Agarwal R P， et al.Existenceresults for sequential fractional integro-differential equations with nonlocal multi-pointand strip conditions[J].Boundary Value Problems，2016（01）：205.

[2]Wang Y，Liu L.Uniqueness and existence of positivesolutions for the fractional integro-differentialequation[J].Boundary Value Problems，2017（01）：12.

[3]Gao， Y， Chen P. Existence of solutions for a classof nonlinear higher-order fractional differentialequation with fractional nonlocal boundary condition[J].Advances In Difference Equations，2016（01）：314.

作者簡介：陈果（2000.01-），女，汉族，江西赣州人，中国农业大学国际学院本科生，研究方向：数学与应用数学。