基于CPFS结构理论的“实数”复习课教学设计

陆文婷 韦 宏

（南宁师范大学数学与统计学院 广西·南宁 530299）

喻平教授根据数学学习心理的特征，提出了“CPFS”结构理论。该理论包含“概念域”“概念系”“命题域”“命题系”。教学实践中，往往会出现这样的现象：在概念学习中，当学生学习了一个概念之后，在具体应用这个概念时会出现类型各异的错误，或者是没有把握概念的内涵，无法辨认概念的反例，或者是不能理解概念的变式。在命题学习中，当学生学习了一个命题，特别是学习了一组命题之后，往往不会灵活应用这些命题。产生这些现象的原因是多方面的，喻平教授认为，个体的CPFS结构的优良与否是一个主要因素。[1]因此，在数学教学中需要教师在教学过程中构建和完善学生的CPFS 结构。

实数在中学的数学学习中占有着十分重要的地位，实数不仅是初中阶段学习的二次根式、一元二次方程以及解三角形等知识的基础，由于实数密切联系了高中许多知识，所以它也是学习高中数学内容的基础。从历年的中考题中可以知道，对于实数的考查都结合其他知识点。从概念角度来看，它可以联系研究数的相反数、绝对值、数轴等。从运算角度来看，在实数范围内可以对正数和0 进行开平方运算。从特殊实数的形式二次根式来看，可以为解决“二次问题”，即一元二次方程、二次函数等提供基础。因此，学生在初中阶段的学习中应建立起“实数”的知识体系，为以后学习虚数提供数学思想和方法去分析、解决相关问题。本文从实数这个具体实例出发，建立关于实数的概念体系，进而完善学生的CPFS结构。

1 教学目标与重、难点

本节内容是人教版七年级下册第六章知识。喻平教授指出，对一个概念的理解首先应当从不同侧面去考察它，形成关于这个概念的概念域；其次，要梳理与该概念有抽象关系的概念体系，形成这个概念的概念系。[1]因此，确定了本节课的教学目标与重、难点如下所示。

教学目标：学生能够掌握实数有关概念；学生能够建构实数的知识网络结构；学生能够体验到在建构知识网络过程中的数的扩充发展和数学思想方法应用的过程中数学是发展的。

教学重点和难点：学生自主建构实数的知识网络结构的过程。

2 CPFS 结构理论指导构建实数的知识网络结构

喻平教授在其CPFS 结构理论中，强抽象是指通过引入新的特征来强化原结构A，使获得的新的概念或理论B，B 是原型A 的特例，则称A 到B 的抽象为强抽象，或称A 与B 之间的关系存在强抽象关系。弱抽象是指从一个数学结构A 中选取某一特征或侧面加以抽象，从而获得比原结构A 更广的结构B，使原结构A 成为结构B 的特例，就称A 到B 的抽象为弱抽象，或称A 与B 之间存在弱抽象关系。[1]

这里的强抽象关系也就是一种上位学习，即一般到特殊。而弱抽象则是下位学习，即特殊到一般。实数是有理数和无理数的上位概念，也就是说，从有理数、无理数到实数是一种弱抽象关系；从平方根到二次根是一种强抽象关系。在这个概念结构中，蕴涵了数形结合思想（数轴与实数的对应）、类比思想（类比有理数的分类对实数进行分类）和一般化思想（表现为强抽象关系或弱抽象关系）（图1）。[3]

图1

3 实数概念体系教学过程设计

3.1 创设问题情境，以问题为驱动

问题1 我们在七年级的时候已经学习了实数这个概念，那么同学们能不能联系实数的有关知识去建立一个关于知识结构图？

设计意图：直接设置以实数为主的知识结构图的问题，可以让学生明确本节课的学习目标，学生进入头脑风暴快速调动储存的相关知识。

3.2 设置问题链完善知识网络结构

问题2 回顾一下目前为止，我们最开始学习的数是什么数？

学生：小学学习的正整数。

问题3 由于实际生活的需求，我们又学习到什么数？

学生：分数、负数、小数等。

问题4 这些数之间有什么联系？有什么区别？

学生：这些数按照不同的分类可分为有理数和无理数。

问题5 一起回顾有理数和无理数的定义，它们有什么区别与联系？它们共同组成什么？

问题6 按照学习过的有理数分类方式，你能不能对实数进行分类？所有数概念之间又有什么联系？这其中体现了什么数学思想方法？

设计意图：通过对数的梳理，让学生再次体验知识产生的缘由，明晰新旧知识之间出现的关联关系，以及体悟知识发展的动因，习得探究数学知识逻辑性的方法。并类比有理数的分类方法对实数进行分类，以此让学生明确数学思想方法的重要。最后，学生体验到数的概念是怎样从正整数逐步发展到实数的。

问题7 我们在研究有理数的时候，一般都研究些什么？

学生：相反数、绝对值、数轴等。

问题8 相反数、绝对值和数轴是怎样定义的？

问题9 对于实数，我们又是怎样研究它的相反数、绝对值和数轴的呢？它们与研究有理数这些性质时有什么联系与区别？这其中体现了什么数学数学方法？

设计意图：实数是有理数的上位知识，从研究有理数的相关性质来研究实数的相关性质，也就是从有理数到实数是弱抽象关系，即特殊到一般的关系。从实数到有理数是强抽象关系，即一般到特殊的关系。在与学生探讨的过程中，需要指出这些关系，有利于学生体会知识之间的联系。通过类比思想从有理数中来学习实数的相关性质，并且结合数轴研究，其中体现了数学解题的类比思想和数形结合思想。

问题10 从运算角度来看，随着数的扩充，数的运算有什么发展？加法与乘法的运算律在实数中始终保持不变吗？

问题11 回顾平方根和立方根的概念，乘方运算与立方运算有什么关系？

问题12 作为一类特殊实数一般形式的二次根式，它与算术平方根有什么关系？它的运算与实数的运算之间又有什么关系？与整式的运算之间又有什么关系？

设计意图：从运算这一脉络出发梳理知识之间的联系，不仅可以帮助学生快速建构实数知识网络结构，而且可以让学生体会在数系发展中运算是基本一致的。这样为以后解决复数的运算提供了思想方法。

教师在与学生解决这些问题的同时，需要在黑板上画出实数的知识网络结构。

3.3 巩固练习，加深概念体系的认识

通过问题链的解决，从多角度、多重层次去揭示实数的概念内涵，并且明示各知识概念间的关系和揭示蕴涵在概念网络结构中的数学思想方法。为了加强对概念网络结构的理解，需要结合一些练习巩固。喻平教授的CPFS 结构理论指出，加强概念需要在两个水平上应用，即知觉水平上应用与思维水平应用。

第一，在知觉水平上的应用。

例1 判断下列说法是否正确：

（1）无限小数都是无理数；（2）无理数都是无限小数；（3）带根号的数都是无理数；（4）所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示有理数；（5）所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数。

例2 有没有最小的正整数？有没有最小的正实数？有没有最小的实数？有没有最小的无理数？

以上两题是这个体系的简单应用，考查了实数相关的有理数、无理数等概念结构。

第二，在思维水平上的应用。

例 3 已知（x-1）2=4,求 x 的值。

例4 已知|x|<2 ，x 是整数，求x 的值，并在数轴上表示求得的数。

例5（2019 湖北黄石）

以上是实数结合方程、三角函数以及二次函数等的题目，解决题目需要学生通过题目信息从已有知识结构中提取和选择相关的概念和命题来解决当前的题目。

4 结束语

复习课的作用就是通过整理零散的知识成为一个知识之间含有相关关系的知识网络结构，使知识条理化、系统化。根据CPFS 结构理论，当学生拥有良好的知识结构时，学生能够更好地提取知识解决问题。因此，教师在授课中提高学生建构知识网络结构的能力，有利于学生的数学学习。