演绎典型例题 提高解题技能

薛莺

二元一次方程组是数学的重要知识点，更是中考乃至奥数的重要考点.下面我们一起通过研究几道奥数题目来了解二元一次方程组的应用.

例1如图1，13个边长为正整数的正方形恰好拼成一个大矩形（其中3个较小正方形的边长分别为x，y，z）.试求满足上述条件的大矩形的面积的最小值.

解析：已知3个较小正方形的边长分别为x，y，z，则其余正方形的边长依次可表示为x+y，x+2y，x+3y，4y，x+7y，2x +y，2x +y+z，4x+4y-z，4x+4y-2z及5x-2y+z.

因为大矩形对边相等，所以1 lx+3y=7x+16y-z，8x+8y-3z=6x+5y+z.化简得z=13y-4x，4z=2x+3y.所以18x=49y.

因为18与49互质，所以x，y的最小自然数解是x=49，y=18，此时z=38.所以大矩形的长、宽分别为593和422.

此时得大矩形的最小面积是250 246.

点评：此题要根据图形特点结合矩形和正方形的性质解题.

例2进入汛期，七（1）班的同学们到水库去调查了解汛情.水庫一共有10个泄洪闸，现在水库水位超过安全线，上游的河水仍以不变的速度流入水库.同学们经过一天的观察和测量，做了如下的记录：上午打开1个泄洪闸后.2小时水位上涨了0.52米.下午再打开2个泄洪闸后.4小时水位下降了0.08米，水位仍超过安全线1.8米，

如果一共打开5个泄洪闸，还需几小时水位下降到安全线？

设如果一共打开5个泄洪闸，还需t小时水位下降到安全线，由题意得0.4t-5×0. 14t=-1.8.解得t=6.

所以还需6小时水位下降到安全线.

点评：本题考查了二元一次方程组的应用，一定要记住水位下降用负数表示，水位上升用正数表示.

练一练

1.当m取-5，-4，-3，-l，O，3，23，124，1 000时，由等式（2m+1）x+（2-3m）y+1-5m=O可以得到9个关于x与y的二元一次方程.这9个方程有没有公共解？如果有，求出公共解.

2.如图2.在3x3的正方形网格中，填写了一些数和代数式（其中每个代数式都表示一个数），使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角线上的3个数之和均相等.求x，y的值，并把此图补充完整，

参考答案：

1.有公共解x=1，y=-1.

2.略，