孔凡哲
方程是代数学的核心内容,是初中数学课程四大领域之一的“数与代数”的重点内容.学习方程都要经历将“实际问题抽象成方程(组)”的数学化过程,方程(组)是刻画现实世界的一种有效模型,
在本章中,我们类比一元一次方程,学习二元一次方程组及相关概念,进一步体会方程的核心思想——模型思想与化归方法,并在学习中不断提高运用方程思想分析、解决现实问题的能力.
一、学习目标
1.经历将现实问题抽象成方程组的过程,了解二元一次方程组及相关概念,基本掌握解二元一次方程组的方法,初步形成运用方程组解决实际问题的意识,掌握方程组模型.
2.类比一元一次方程,能够“找出实际问题中的已知数和未知数,分析它们之间的关系,设未知数,列出二元一次方程组表示其中的等量关系”,会解二元一次方程组,掌握化归方法.
3.在运用二元一次方程组解决问题的过程之中,感受数学的应用价值,提高发现数学问题、分析数学问题和解决数学问题的
二、类比一元一次方程,经历二元一次方程组的抽象过程
我国古代数学著作《孙子算经》中有一道名题:
今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何.
通过列二元一次方程组或一元一次方程,都可解决“鸡兔同笼”问题,不难发现,无论列哪类方程,其关键都在于建立方程模型的抽象过程.二者的区别在于:列二元一次方程组的思维过程比较简单,解答方法相对复杂一些;列一元一次方程的思维过程相对复杂一些,解法相对简单.
三、转化思想
解方程(组)的关键在于转化思想,即“化繁为简,化生为熟”.
“化繁为简”主要体现在一元一次方程的解法中,将含有未知数的项都放在方程的一边,将不含未知数的项放在方程的另一边,进行化简并计算,将一元一次方程转化为ax=b的形式,最终得到方程的解.
“化生为熟”主要体现在二元一次方程组的解法中.这里的“生”就是指“二元一次方程组”,这里的“熟”就是指“一元一次方程”.对于二元一次方程组,化归的核心是消元,即减少未知数的个数,将“二元”最终转化为“一元”,再根据一元一次方程的解法,即可求得结果.
消元法主要包括代人消元法和加减消元法.
需要强调的是,利用代入消元法要注意正负号;而利用加减消元法,若需要用一个常数同时乘方程的左右两边,用这个数乘未知数系数的同时,也需要用这个数乘常数项,
思考1:用恰当方法解二元一次方程组.
在感受建模思想、体会化归方法的同时,也要明晰二元一次方程组的概念,即有两个未知数,含每个未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程,像这样的方程组叫作二元一次方程组.那么,二元一次方程组中的两个方程一定都是二元一次方程吗?答案是否定的,方程组中的未知数一共有兩个即可.
四、学习方法提升
在学习二元一次方程组时,我们已经掌握的学习方法大多可以使用,同时,也要注意本章的一些新特点.
1.迅速适应从“一元到多元”的转变,并在类比中深化理解基本知识.
2.通过解决实际问题,感受数学建模思想.
3.通过解方程组,进一步感受化归方法.
练一练
(2019年娄底)某商场用14 500元钱购进甲、乙两种矿泉水共500箱,矿泉水的成本价与销售价如表l所示.
(1)购进甲、乙两种矿泉水各多少箱?
(2)该商场售完这500箱矿泉水,可获利多少元?
参考答案:
(1)购进甲种矿泉水300箱,乙种矿泉水200箱.(2)可获利5 600元.