趣说平方根和立方根

林革

同学们学习了平方根和立方根的相关知识后，对“√”“3√”等都已经熟悉并能自如地使用，可以切身体会到在使用它时的便利性，不过，对于根号的由来和演变，许多人也许并不清楚.说起来，这可是一段相当曲折的过程呢！

古时候，埃及人用记号“「”表示平方根，印度人在开平方时，在被开方数的前面写上ka.公元2世纪的罗马人则用拉丁词语latus（正方形的边）表示平方根，这个词的首字母1后来成为欧洲重要的表示平方根的符号，在16世纪，有人采用“根”字的拉丁文radix中第一个字母的大写R来表示开方运算，并且后面跟着拉丁文“平方”的第一个字母q，或拉丁文“立方”的第一个字母c，来表示开的是多少次方.例如，现在的、√4352，当时就写成R.q.4 352.

1624年，英国人布里格斯分别以1、13、II表示平方根、立方根和四次方根.后来，法国数学家笛卡儿（1596-1650）在《几何学》一书中正式创设了符号“√”并自然演变成“√ ”，继而被人们普遍接受并采纳.只要你注意到“√”和“√一”的不同，就能理解其演变过程.因为“√一”包含两个部分：左边的“√”是由字母r演变而来的：至于上面的那条“短线”，则相当于现在使用的括号.所以，“√ ”实际上是一个结合符号.

“√”表示开平方，本来“√一”的左上角应该写一个数字2，但因为数学上经常会出现开平方的情形，所以干脆约定俗成把2略去，只用“√一”表示开平方.但开立方、开4次方……则必须在“√一”的左上角写上3，4，…，例如3√27，4√81等.

由此可见，根号的演变并非一帆风顺，也是“大浪淘沙始见金”的过程.事实证明，只有最简洁直观、最方便实用的形式才能经得起时间的考验.同时说明，任何一个新生事物的诞生绝非易事，只有经历不断完善的过程，才能真正为人们所接受.

大家都知道，开方是指求一个数的方根的运算，较之更为常见的加、减、乘、除四则运算，开方要困难得多，碰到需要开方的问题总是件让人头疼的事，如今的人们需要非特殊数的方根数据时，通常会查阅现成的《中学数学用表》，而更省事的做法就是使用计算器或电脑.而在《中学数学用表》没有出现之前的时代，开方是件人们唯恐避之不及的难事，比如在欧洲被称为“黑暗时代”的中世纪，大部分有文化的读书人竟然不会开方.正因为这样，《数学一人造的宇宙》中介绍的一种开方妙法格外引人注目，这种源自古巴比伦人的独特算法，令人击节叹服.下面就以√19为例，向大家介绍别具一格的“巴比伦开方法”.

首先，我们可以通过计算器或查表得√19≈4.358 898 944.这样的近似值把19的平方根写到小数点后第9位，精确度已经够高，无需继续拓展延伸，就放在一边作为参照数值.

其次，就用“迭代”（迭代顾名思义就是指不停地代换，也指循环执行的意思）来具体解释“巴比伦开方法”的操作步骤.

第一次，设4为、√9的起始近似值，然后进行如下计算：19÷4=4.75.接着求起始近似值4与商4.75的平均数，即（4.75+4）÷2=4.375，可以判断，4.375的平方更接近于19.所以接下来就用相对准确的4.375替代4.

第二次，仍采用与第一次一样的两次计算，其中的4由4.375代换，如法炮制的计算就是19÷4.375≈4.343.再求4.375与4.343的平均数，即（4.343+4.375）÷2=4.359，仍可以判断.4.359的平方更接近于19.所以接下来就用更为准确的4.359替代4.375. 第三次，19÷4.359≈4.358 798，（4.358 798+4.359）÷2=4.358 899.

第四次，19÷4.358 899 ≈4.358 898 9，（4.358 898 9+4.358 899）÷2=4.358 898 95.

第五次.19÷4.358 898 95≈4.358 898 937，（4358 898937+4358 89895）÷2 ≈4.358 898 944.

至此，经过五次迭代后，所得√19的近似值已经与参照数值完全吻合，说明这种递推结果非常精确，

而更令人惊奇的是，如果在假设√19的起始近似值时随意离谱，比如设为7，居然也不碍事，只要按照上述步骤继续操作，就会发现逐次接近、√19的近似值4.358 898 944.

毫无疑问，这种奇特的开方法在科技文化相对落后的上古时代出现实属不易，而其中的“迭代”还能自动纠错，更堪称奇观.

接下来，我们再来谈谈有关立方根的速算.为了强化这种巧妙策略，不妨从别开生面的数学游戏着手，你准备好了吗？

请你先在心中任意选一个两位数，然后把它三次方的计算结果告诉我，我能立即报出你选的两位数.相信许多同学都半信半疑：真这么神？没错，只要你算出的结果正确，那我报出的结果也一定正确.

几个回合下来，屡试不爽的结果肯定让你有所察觉，其中一定有窍门.事实的确如此，下面就来揭秘：

我们先计算1至9的立方数，1³=1，2³=8， 3³=27， 4³=64， 5³=125， 6³=216，7³=343， 8³=512. 9³=729.

不难看出，原数与立方数的末位数字除了两对特殊对应关系2←→8、3←→7，其余的都对应相同.鉴于这个对应规律，可以把你报的结果分成两节，从右到左的三个数字按原来顺序作为第一节，余下的作为第二节，由第一节的末位数字确定立方根的个位数字，再由第二节的数确定立方根的十位数字.比如：你报的是314 432.把314 432分成两节，由第一节432的末位数字2确定立方根的个位数字为8.由第二节314介于63和7：之间，按“就小脱大”法确定立方根的十位数字为6，因此314 432的立方根為68.再比如：你报的数是571 787，把571 787分成两节，由第一节787的末位数字7确定立方根的个位数字为3，由第二节571介于83和93之间，按“就小脱大”法确定立方根的十位数字为8，因此571 787的立方根为83.有兴趣的同学不妨验证一下.

看完以上有关根号的介绍以及求平方根和立方根的巧算和速算，现在你对平方根和立方根是不是有了新的认识？