深度理解实数

2020-08-10 08:59孔凡哲
关键词:毕达哥拉斯乘方对角线

孔凡哲

在人类发展史上,没有哪一类数像实数一样,蕴涵如此多的故事,这些故事不是传说,而是史实.就让我们到历史长河中探寻实数背后的故事吧.

一、根植于丰富文化中的实数

在人类文明发展史中,古希腊时期是一个永远无法忽略的时期.这个时期,为数众多的数学家做出了永载史册的贡献.

以数学家毕达哥拉斯为首的毕达哥拉斯学派提出了“万物皆数”,即世间万物的所有数都可以表示为两个整数之比的形式.

真是这样吗?那个时代,人类尚未认识到负数,当时的数是指0以及今天所说的正数,可以这样说,当时所说的数,除了自然数,就是小数.

自然数可以写成分母为1的两个自然数之比的形式,对于有限小数,当然可以化成分数,但是,对于无限循环小数,比如,0.35,该怎么办呢?事实上,对于0.35,設它为x,于是.100x=35+x,从而,x=35/99.

如此,“万物皆数”的观点是“对”的.

可是,毕达哥拉斯学派的一位学者,无意中发现:将两个边长为1的小正方形分别沿着一条对角线剪开,得到四个完全一样的等腰直角三角形,将其拼成一个大正方形,这个大正方形的面积自然是2,它的边长a既不是1,也不是2,而在1和2之间不可能存在其他的自然数,如果a是分数(分子、分母不能约分),那么,a·a肯定还是一个分数,而且,分子、分母依然不能约分,自然不能等于2.这就奇怪了!

这个事实意味着,用小正方形的边长1作为单位,度量面积为1的这个正方形的对角线,是无法度量的!“万物皆数”的神话破灭了!

这个惊人的事实震惊了所有人,按照毕达哥拉斯学派的规矩,发现这个“奇怪结论”的人被处以重罚——据说,他在一条行驶的船上讲述他的发现,行刑者将其装入麻袋投入水中.

但是,√2是“淹不死”的!

在随后的历史进程中,人们接受了这个事实!不仅√2被发现,而且√3,√5等陆续被发现.这就是无理数的由来!

二、深度理解多重含义的实数

实数是由有理数和无理数组成的,有理数都可以表示为两个整数之比的形式,即分数.而无理数其实是非常“有理”的!它的含义非常丰富.

首先,无理数是真实存在的.

、/丁是边长为1的正方形的对角线的长(如下页图1所示),、/了是边长分别为1和2的长方形的对角线的长,、/了是边长分别为、/7万和1的长方形的对角线的长(如下页图2所示),而边长分别为、/7歹和1的长方形,其对角线的长为2.

对于非零自然数n,边长分别为1和√n的长方形,其对角线的长就是√n+1.

其次,无理数是无限小数,

我们已经知道,√2是面积为2的正方形的边长.如图3所示,面积为2的正方形的边长a肯定在1到2之间.因为面积越大,边长越长,所以边长分别为1,a,2的正方形面积之间的关系为:122=2<22.可以清楚直观地看出a在1和2之间,a的整数位上的数一定是1,可十分位上的数是多少没有办法看出来.

我们可以用0.1,0.01,0.001,…作为间距,依靠计算器探索它的十分位上的数,百分位上的数,千分位上的数……如表1所示,可以发现a介于1.414 2与1.414 3之间.

a肯定是一个无限小数,因为假如a是一个小数点后有n位的有限小数,那么,a·a一定是一个小数点后有2n位的有限小数,而不可能是2.

最后,无理数具有不循环性,事实上,若无理数是循环小数,根据无限循环小数都可以化成分数,则它就不是无理数了,

三、数形结合理解实数

实数和有理数一样,可以进行加、减、乘、除、乘方运算,而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用,

在学习无理数之前,有理数对应的点密密麻麻地分布在数轴上,但是有空隙.无理数对应的点将数轴上有理数对应的点之间的空隙填满,至此实数对应的点填满了整个数轴,数轴上的每一个点,都可以唯一对应一个实数.也就是说,实数可以表示任意一条线段的长度,并且同一条线段只有一个长度.

其实,我们可以用无限小数将所有的实数表示出来.因为任意有限小数也可以写成无限小数的形式,只要是从某位之后永远是9就可以了,例如5.38=5.379 999 99….你能解释这个问题吗?

事实上,利用实数与数轴上的点一一对应的关系,我们可将实数的大小关系转化为点的位置关系,数轴正方向指向右方,数轴上右边的点所表示的数比左边的点所表示的数要大.恰当利用这个性质,可以解决许多问题.

例1 (2019年广东)实数a ,b在数轴上的对应点的位置如图4所示,下列式子成立的是(

).

A.b

B.-a

C.a+b>0

D.a/b<0

6

解析:由数轴可知,一21>b,-2

特别地,可以利用正方形边长与面积之间的相互关系“边长越大,正方形的面积也越大:反之亦然”判断边长的大小关系,对于两个无理数(或者两个实数),当判断其大小较困难时,有时也可以利用其平方之后的大小关系进行判断.

对于a>0,b>0的情形:若a2>b2,则a>b.

对于a<0, b<0的情形:若a2>b2,则a

例2 比较10/3和√11的大小.

实数是《义务教育数学课程标准(2011年版)》“数与代数”领域的重要内容.在学习本章之前,数学内容都是在有理数的范围内讨论的,学习了本章之后,我们就可以在实数范围内研究数学问题,本章的主要内容是平方根和立方根的概念和求法,实数的有关概念和运算.实数的学习为后面学习二次根式、一元二次方程等知识打下坚实的基础,

四、实数对加、减、乘、除(除数不为0)乘方运算都是封闭的

实数可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算,运算的结果仍然是实数,这就是说,运算是封闭的,非负数(正数和0)可以进行开平方运算.任意一个实数可以进行开立方运算.

在进行实数的运算时,有理数的运算法则及运算律,以及有理数关于绝对值和相反数的意义,都适用于实数.

在学习实数的过程中,有一些知识点容易混淆,需要进一步明确,比如,无理数都是无限小数,但无限小数不都是无理数;带根号的数不一定是无理数,不带根号的数不一定是有理数;两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数;一个有理数与一个无理数的和、差一定是无理数,但是,它们的积、商可能是有理数等,

例3在实数原有运算基础上,补充新运算“*”如下:

当a≥b时,a*b=b2;当a

当x=√2时,(1*x).x-(3*x)=____.(“·”和“一”仍为实数运算中的乘号和减号)

解析:本题用“*”定义了一种新运算,关键是深刻理解新运算符号“*”的意义,再将新运算转化为熟悉的加、减、乘、除、乘方等运算.

在实数中,解决新定义运算型问题与解决常规的混合运算问题区别不大,只要按照新定义运算的规律、法则将其转化为熟悉的运算即可.

练一练

1.如果在实数原有运算基础上,新定义“@”的运算法则为x@y =xy -1,那么,(2@3)@4=____.

2.(2019年宁波)请写出一个小于4的无理数:____.

参考答案:1. 19 2.答案不唯一,如√15等,

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