感受坐标思想 把握坐标内涵

孔凡哲

数轴是数形结合的典范.平面直角坐标系由两条原点重合且互相垂直的数轴组成，它的发明，使得代数式与图形有机结合在一起，不仅可以使代数问题几何化.而且可以使几何问题代数化.

一维图形就是一条直线.在直线上确定点的位置，必须确定一个基准点和一个基准方向，这个点就是原点，这个方向就是正方向，同时，还要确定度量单位，即单位长度，在确定了原点、正方向和单位长度的直线上，任何一个点都对应着唯一的一个实数，而且仅仅需要一个实数就可以确定点的位置，故数轴上的点和实数是一一对应的，而这个实数就是点的坐标.

如图1所示，数轴上点A的坐标为-2.若已知某点的坐标是4，则这个点在点B处，

思考1：如图2所示，如果点A的坐标为-3，点A的正上方一个单位长度处有一个点A1，那么该如何表示点A.的位置？

点A1和点A的横向上的位置都是-3，但是纵向上的位置是不同的，相差一个单位长度.利用定位一维图形上的点的方法，无法定位点A1，必须增加新的量才能解决问题.

引入纵向轴线，在平面内再画一条与已知数轴垂直，且原点重合的数轴，组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向;竖直的数轴称为y轴或纵轴，习惯上取向上为正方向;两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点（如图3所示）.

点A，的横向上的位置会在x轴上体现，纵向上的位置会在y轴上体现，过点Ai分别向x轴、y轴作垂线，得到了与x轴、y轴相交的两个点（垂足）以及两个点分别对应的实数，我们可以用这个实数对来表示点A，的位置.

因此，点A1的坐标为（-3，1）.

在平面内确定一个点的位置，只需要一个数对就可以了，这个数对叫作有序数对.之所以称之为有序数对，是由于数对是一个整体，数对中的两个数有顺序之分，当a≠b时，（a，b）所表示的点与（b，a）所表示的点的位置是不同的，

思考2：若再画一条与已知数轴原点重合、但不垂直的数轴，能否表示点A1的位置？

答案是肯定的，這样的坐标系我们称之为斜坐标系.

当把两条数轴垂直放置时，更方便标记点的位置，因此在实际问题中，我们常常建立适当的平面直角坐标系，根据点的位置写出它的坐标，

如图4，建立平面直角坐标系后，平面上的点可分成两条坐标轴上的点以及四个区域内的点，这四个区域称为象限，右上方的区域称为第一象限，按照逆时针的方向，其他区域依次称为第二、第三和第四象限，两条坐标轴上的点是不属于任何一个象限的.就好比两间房子之间的隔墙是不属于任何一方的，

在平面直角坐标系中，以坐标轴x轴为对称轴，对称点的坐标特点为“横坐标不变，纵坐标互为相反数”;以坐标轴y轴为对称轴，对称点的坐标特点为“纵坐标不变，横坐标互为相反数”.

思考3：若平面内有一点P（a，b），则点P关于坐标原点的对称点P'的坐标是________.

关于坐标原点对称可以分解为先关于x轴对称，再关于y轴对称（或先关于y轴对称，再关于x轴对称）.进行两次轴对称变换后的点，与原来的点成中心对称，对称点的坐标特点为“横坐标、纵坐标均互为相反数”，相当于横、纵坐标均乘一1.即点P，的坐标为（-a，-b）.

在平面直角坐标系中，将点向左（或向右）平移n个单位长度（n是正数），平移后的点的坐标特点为“纵坐标不变，横坐标减少（或增加）n个单位长度”;将点向上（或向下）平移n个单位长度（n是正数），平移后的点的坐标特点为“横坐标不变，纵坐标增加（或减少）n个单位长度”.

思考4：若平面内的一点沿着某一方向（非坐标轴方向）平移，则平移后的点的坐标应该如何表示？

沿着某一方向（非坐标轴方向）平移，可以分解为先沿着x轴方向平移，再沿着y轴方向平移（或先沿着y轴方向平移，再沿着x轴方向平移），平移后的点的横、纵坐标都会发生相应的变化.

练一练

1.（2019年杭州）在平面直角坐标系中，若点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（

）.

A.m=3，n=2

B.m=-3，n=2

C.m=2，n=3

D.m=-2，n=-3

2.（2019年安顺）在平面直角坐标系中，点P（-3，m2+1）关于原点的对称点在（

）.

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3.（2019年广安）若点M（x-l，-3）在第四象限，则x的取值范围是____，

参考答案：

1.B

2.D

3.x>1