对《数学·必修4》的“三角函数”一章的修改建议*——由正弦型函数y=A sin(ωx+φ)的图象求解析式

广东省肇庆市高要区第一中学(526100) 程华生

在高中数学《必修4》课本的第54页,有个例2,原题如下:

如图是某简谐运动的图象,试根据图象回答下列问题:

(1)这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少?

(2)从O点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一次往复运动?如从A点算起呢?

(3)写出这个简谐运动的函数表达式.

解:(1)从图象上可以看到,这个简谐运动的振幅为2cm;周期为0.8s;频率为

(2)如果从O点算起,到曲线上的D点,表示完成了一次往复运动;如从A点算起,则到曲线上的E点,表示完成了一次往复运动.

(3)设这个简谐运动的函数表达式为y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞),那么,A=2;由得由图象知初相φ=0.于是所求函数表达式是

对于这个例题,答案中说“由图象知初相φ=0”,过于简单.

在《必修4》教材里面,给出正弦型函数y=f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象——一段波浪线,要求求出函数解析式是一个重要专题,而在此类题目里,求φ是难点,经过多年的研究,我总结出求φ的两大方法——最值法和关键点法.

先谈谈最值法吧!所谓的最值法就是将波浪线的最高点或最低点的坐标代入解析式从而求出φ,课本上的例2,就可以用最值法求出φ的值.

对于《必修4》课本第54页的例2 的第(3)小题,我建议将答案修改完善一下,给出的答案如下:

（方法一）解:设这个简谐运动的函数解析式为y=f(x)=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞).明显可见:振幅A=2;T=0.8=解得:则波浪线的解析式为

下面的唯一任务就是求φ的值,此波浪线的一个最高点的坐标为(0.2,2),即x=0.2 时,y=2,代入解析式得:则φ=2kπ(k ∈Z).

当然,这样的φ有无穷多个,大小相差2π的整数倍,我们可任取一个,一般取绝对值最小的那个,对于此题,当k=0 时,φ=0,此时φ的绝对值最小,取φ=0 最好.

一旦知道φ的值为0 后,则所求的函数解析式为

（方法二）解:设这个简谐运动的函数解析式为y=f(x)=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞).明显可见波浪线的解析式为

接下来就是求φ的值,此波浪线的一个最低点的坐标为(0.6,－2),即x=0.6 时,y=－2,代入解析式,得则φ=2kπ(k ∈Z).（下同方法一）

但是,用最值法求φ也有局限性,如果不知道且不能求出波浪线的最高点或最低点的坐标,最值法就无能为力了.

下面有一道类似题目：y=f(x)=Asin(ωx+φ),(A＞0,ω＞0,|φ|＜) 的一段图像过点(0,1),如下图,A点横坐标为,B点横坐标为,C点横坐标为,D点横坐标为,E点横坐标为,求f(x)的解析式.

关键点法解题的策略.

下面利用“五点法”画出此函数的图象.

(一)取值(表1).

表1

(二)描点.

(三)将描出的五个点用光滑的曲线连起来.

这就是我们熟知的用“五点法”画正弦型函数y=f(x)=Asin(ωx+φ)的图象的过程.

在此,将上面的表格两端进行拓展,得到如下表2:

表2

表格被拓展后,曲线两端也会被延伸,得到如下图象:

在此,将A点、E点、J点命名为第一关键点;将B点、F点、K点命名为第二关键点;将C点、G点、K点命名为第三关键点;将D点、H点、P点命名为第四关键点;将E点、J点、Q点命名为第五关键点,值得注意的是,第五关键点“身兼二职”,具有双重身份,它们同时还是第一关键点.

容易发现:第一关键点是波浪线上升过程中与平衡位置所在直线的交点;第二关键点是波浪线的最高点;第三关键点是波浪线下降过程中与平衡位置所在直线的交点;第四关键点是波浪线的最低点;第五关键点是波浪线上升过程中与平衡位置所在直线的交点,第五关键点“身兼二职”,具有双重身份,它们同时还是第一关键点.

在此,有如下很有意思的规律:

(1)第一关键点的横坐标能使角M的终边与x轴的正半轴重合.例如:

(2)第二关键点的横坐标能使角M的终边与y轴的正半轴重合.例如:

(3)第三关键点的横坐标能使角M的终边与x轴的负半轴重合.例如:

(4)第四关键点的横坐标能使角M的终边与y轴的负半轴重合.例如:

(5)第五关键点的横坐标能使角M的终边与x轴的正半轴重合.例如:

这样就对上面的例题进行了比较完善的解答并适当拓展.