素养涵育：高中数学“片段教学”的理解与实践范式构建

黄炳锋

（福州第三中学，福建 福州 350003）

一、问题的提出

1.研究缘起

2020 年福州市教师技能大赛高中组面试阶段，评委选择人教A 版新教材必修第二册《7.3 复数的三角表示》为教学内容，要求选手在15 分钟内完成片段教学.参加技能大赛的选手都是各校选拔出来的教学能手，代表了区域内的最高水平，他们在教学语言、板书设计、教学形象等方面都有出色表现，但由于本课“过于简单”，很多选手没能准确领会内容的本质，不知如何设定教学目标，对学生的学习困难点判断也不准确，从教学实践看，有些选手缺乏结构意识，把这节课上成“复数的三角形式”的概念讲解课；有些选手缺乏内容意识，不知如何定位教学重点、难点，三言两语说明了复数的三角形式的特征后，错误地只把重点放在例题教学上；还有些选手缺乏教学意识，不重视教学问题设计，不重视发现和提出问题、分析和解决问题的能力培养，没有探究、启发等教学行为，等等.归根结底，在片段教学的理解与教学设计上存在不足，教学中没能很好体现结构逻辑、内容逻辑与教学逻辑，导致教学应有的核心素养目标旁落.

2.理论背景

“片段教学”源于教师技能训练的“微格教学（Microteaching）”.微格教学产生于20 世纪60 年代初，美国斯坦福大学爱伦（Dwight.W.Allen）教授将它定义为：“它是一种缩小了的可控制的教学环境，使准备成为或已经是教师的人可能集中掌握某一特定的教学技能和教学内容”［1］.随着微格教学从岗前训练和在岗培训模式演化为业务考核的片段教学模式，人们关注的就不局限于执教者某一特定的教学技能，而是对片段教学过程的整体评价.

一般认为，片段教学指在虚拟的课堂教学环境中，按规定的时间完成某节课的某个局部（片段）的教学，执教者通过完成指定的教学内容，来表现自己的教学思想、教学水平和教学基本功［2］.片段教学可以比较客观地反映执教者对数学的理解、对学生的理解、对教学的理解，体现教师的素养和教学风格，所以这种教学形式常被用于主题教研或职称考核、技能大赛等业务评价.

片段教学与一般的课堂教学的区别在于教学时长与教学环境不同，片段教学过程中一般没有学生直接参与，听课者是领导、同行或专家、评委，但它与一节课的教学没有严格意义的区分，基本保留了课堂教学的特点和要求.由于片段教学的时间更短，一般只有15 分钟，所以往往被要求完成指定的局部内容的教学而不是整节课，而且教学中还需要压缩学生自主学习、小组合作和探究发现的教学用时.因为没有学生参与，所以教师只能用指令语言代替学生的活动环节，用言语转述虚拟教学互动和目标达成的反馈，用虚拟情景代替实物或多媒体演示.［3］与一般的课堂教学比较，片段教学更突出教学的精华，由于没有学生参与互动，也得不到学生的反馈信息，教师需要在虚拟的教学环境中保持片段内教学环节的完整性、教学逻辑的严密性和教学过程的层次性，使得片段教学比一般的课堂教学更难.

片段教学的实践比较常见，但理论研究不多，查阅到的期刊论文多属教学建议，缺乏明晰规范的片段教学理论框架和操作范式.片段教学是教师提高教学技能和专业发展的重要推手，如何在没有学生互动的情境中根据指定的教学内容实施片段教学，引起广大教育工作者的重视和讨论.

3.提出问题

教学是为了提升并发展学生的数学核心素养，从根本上看是为了落实立德树人的任务，片段教学也应以发展学生数学核心素养为导向，突出“以学生发展为本”和“培育科学精神和创新意识，提升数学核心素养”的课堂教学核心任务，素养涵育的关键在于教学过程的设计，没有过程的教学就不可能有核心素养的落实，那么片段教学如何体现课堂教学应有的素养涵育呢？本文拟以2020 年福州市教师技能大赛的课题教学实施为例，浅谈片段教学的实践范式.

二、实践的范式

1.展示课型结构，突出结构逻辑与教学关注

教学就如写作行文，需重视结构与逻辑.课堂教学有不同课型，如概念课、规则课、例题讲评课、复习课等，每个课型都有其特有的结构逻辑与教学关注，作为概念课，教学过程要注意呈现“概念引入”“概念形成”“概念的明确与表示”“概念的辨析”“概念的巩固应用”“纳入概念系统”等基本环节.［4］在片段教学中，同样需要突出概念课的基本环节，展示概念课的教学结构，尤其要体现概念课型的“概念引入”与“概念形成”等环节的教学关注.

“概念引入”环节就是要让学生体会并认识学习概念的必要性，教学一般从“数学概念体系的发展”或者从“解决实际问题的需要”构建适当的教学情境，自然而然地提出学习要求.复数的三角表示是在复数的概念与四则运算之后学习的另一种表示，从概念体系的发展看，是为了建立概念内部的联系而学习概念的另一种表示方法（如图1）.从图中可以看出，概念教学一般通过数学抽象形成定义，再学习表示与分类，概念的多种表示往往源于不同表示的优势，需要经历从具象到抽象的素养提升，还要考虑不同表示法的等价性与互化，教学需以课型结构促进数学抽象素养的落实.为了体现复数概念内部的联系，本节可以从“概念学习的需求”或“实际问题的需求”等角度引入课题.

图1

“概念形成”环节一般经历由具体到抽象、由特殊到一般的认知过程，通过归纳概括出概念的本质特征.由于本节已具备复数概念的认知基础，所以可以利用概念同化的方式，借助学生认知结构中已有复数的代数形式，建立联系形成三角表示，教学设计如下.

引入1：一个概念的不同表示建立了概念内部的联系，有助于我们进一步认识概念，并有利于解决一些问题.前面我们研究了复数a+bi（a，b∈R）及其四则运算，本节研究复数的另一种重要表示——复数的三角表示.它可以帮助我们进一步认识复数，同时给复数运算带来便利.

［设计意图］这是概念引入环节第一种方式.从概念体系的发展角度提出学习的需求，引入课题.

引入2：前面我们学习了复数的概念及其四则运算，但要解决形如(等运算问题，还是有一定困难.本节我们研究复数的另一种重要表示——复数的三角表示.它可以帮助我们进一步认识复数，同时给复数运算带来便利.

［设计意图］这是概念引入环节第二种方式.从实际问题的求解角度提出学习的需求，引入课题.

问题1：我们知道，复数可以用a+bi（a，b∈R）的形式来表示，复数a+bi与复平面内的点Z（a，b）是一一对应的，与平面向量=(a，b)也是一一对应的.借助复数的几何意义，复数能不能用其他形式来表示呢？

追问1：复数a+bi与Z（a，b）一一对应，与平面向量=(a，b)也是一一对应，意味着什么？

追问2：复数的几何意义指什么？

探究：复数z=a+bi与向量一一对应，复数z由向量的坐标(a，b)唯一确定，我们知道向量也可以由它的大小和方向唯一确定，那么能否借助向量的大小和方向两个要素来表示复数呢？如何表示？

［设计意图］这是概念形成环节.明确教学问题，建立数（复数）与形（几何意义，向量）的联系，若学生对教学问题有疑问，或无法理解一一对应的含义，可以用追问的形式加以指导，再借助探究环节，引导学生提炼向量的大小与方向的数量要素，为表示复数引入三角函数做必要的方法准备，即在方法上引导学生如何提炼r和θ来表示复数z.

2.设计明暗主线，确保内容逻辑连贯与一致

教学可视作师生达成目标（任务）的系列活动，为提升与发展数学核心素养的教学活动需要重视明暗主线的设计，普通高中教科书教师教学用书指出以“事实-概念-性质（关系）-结构（联系）-应用”为明线，是从教学内容层面提出要注重知识主线的逻辑走向，注意相互知识间的关联，强化核心内容要求，突出知识的整体性与逻辑的连贯性；同时指出以“事实-方法-方法论-应用”为暗线，是从素养层面提出要发挥各种能力和思想方法对高中数学知识的统摄作用，保持能力训练的逻辑连贯性和思想方法的前后一致性，要突出方法的普适性与思维的系统性，并强调突出数学本质，结合明线布暗线，交融协调明暗主线，形成基本数学思想和方法的“渗透-明确-应用”的有序进程，确保思想方法的一致性［5］.

复数的三角表示教学明线是“代数形式-几何意义（与向量的关系）-三角形式（联系）-应用”，从知识层面上看，复数的三角形式是数形结合的产物，由复数a+bi（a，b∈R）到点Z（a，b），再到向量，建立了三者之间相互对应关系，即通过复数的几何意义将数与形联系起来，再用向量概念与方法提取r 与θ，通过三角函数建立关系式a=rcosθ，b=rsinθ，进而得出任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式的一般结论，并给出相关概念，体现了知识的整体性和逻辑的连贯性（如图2）.

图2

暗线是“表示-方法-方法论-应用”，即在方法上，要回答如何把复数的代数形式表示为三角形式，表示法是否唯一，要回答θ的多样性的特征与唯一性的处理等；在方法论上，要回答任意一个复数a+bi（a，b∈R）表示为r(cosθ+isinθ)形式的两个问题：其一，用r和θ可以表示任意一个复数；其二，r和θ表示的是复数，突出了方法的普适性和思维的系统性，教学设计如下.

问题2：通过探究发现，向量的大小可以用模r表示，向量的方向可以借助以x 轴的非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ）为终边的角θ来刻画，你能用r和θ表示复数z吗？

追问1：用r和θ表示复数z的关键是什么？你能用r和θ表示a，b吗？

追问2：根据复数的几何意义，每个复数a+bi可由点Z（a，b）唯一确定，再根据三角函数的定义，可得a=rcosθ，b=rsinθ，所以a+bi=r(cosθ+sinθ)，这说明什么？当点Z在实轴或虚轴上时，这个结论成立吗？

［设计意图］这是概念的明确与表示环节.基于“表示”设计明线，基于“方法”设计暗线，先提出问题，再通过追问1 明确用r和θ表示复数z的关键所在，通过追问2，并结合数形关系得出每个代数形式的复数都可以为三角形式的复数的一般结论.

问题3：一般地，任何一个复数的代数表示式z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式，这种形式叫做复数的三角表示式，简称复数的三角形式，与复数的代数形式中的a，b有特定名称一样，你能给出r与θ的概念和名称吗？

追问1：一个复数的辐角唯一确定吗？任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，这些值之间有什么关系呢？

追问2：为了保证每一个不为零的复数有唯一的θ值，我们引入辐角主值的概念，你能说说辐角主值的定义吗？

追问3：你能概括一下复数的三角形式的特征吗？

［设计意图］这是概念的辨析环节.基于“定义-关系-联系”设计明线，基于“事实-方法”设计暗线，先提出问题，指导学生获得相关概念的定义与每一个非零复数的不同辐角之间的关系，再用追问的形式得出复数的三角形式的多样性与唯一性，指出这是概念不同表示法的一般思考方法，并引导学生概括复数的三角形式的特征.

问题4：在复数的三角形式下，你能说说两个复数相等的充要条件吗？

追问1：在复数的代数形式下，有什么结论？

追问2：你能谈谈本节学习了哪些内容，本课学习对你有什么启发？

［设计意图］这是课堂小结环节.通过比较两种表示法获得结论，并在知识回顾中，引导学生总结两种表示法的内容逻辑与联系.

3.融合教学理解，凸显教学逻辑与认知规律

同课堂教学一样，片段教学应该追求“三个理解”：理解数学、理解学生、理解教学，“三个理解”是教师专业水平、育人能力以及是否遵循教学逻辑与认知规律的集中体现.

理解数学，就是要把握数学内容的本质，主要是对数学的思想、方法及其精神的理解.教好数学的前提是理解数学，尤其是对一些具有统摄性的“一般观念”要有深入理解并能灵活应用.例如，复数概念的教学一般从复数定义、表示与分类入手，概念的不同表示需要关注它们的等价性；又如，获得复数的三角形式需要回答两个问题，以及两种表示法的互化与是否唯一，等等.

理解学生，主要是对学生数学学习规律的理解，核心是理解学生的数学思维规律，只有对学生的数学思维规律有了深入的了解，才能知道应当采取怎样的教学措施引导学生的数学思维活动，有的放矢地进行教学.例如，从复数的代数表示到三角表示，两种表示法的联系是向量与三角函数，符合学生思维规律的教学措施是借助图形直观，因此在探究环节一定要引导学生做出相关图形；又如，从复数z到点Z，再到向量，要指导学生认识到它们之间一一对应关系，以及一一对应的含义等.

理解教学，主要是对数学教学规律、特点的理解.数学是思维的科学，数学学科的特点决定了数学教学的特点和规律，只有遵循了这些规律、反映这些特点，数学教学的质量和效益才能真正得到保证.［6］例如，在复数概念形成的教学中先提出问题，然后通过探究的形式引导学生关注“如何用用r和θ表示复数z”，即借助“问题-活动-结果”的教学活动形式，确保教学质量与效益等.

片段教学执教者为了表现教学思想、教学能力和教学基本功，还需要在素养涵育的基础上凸显教学技能，这里的教学技能主要包括“语言表达”与“文字书写”的技能.

语言表达上，要做到语速平缓、吐字清晰、抑扬顿挫，教学语言的吸引力除了表达的技巧外，还要注意表达的规范，要讲“数学的语言”，要用“数学的方式”，解决“数学的问题”.此外，教师还应擅长用语言进行归纳，比如，将复数的三角形式的特点归纳为“模非负，角相同，余弦前，加号连”，不仅形象生动，朗朗上口，便于学生记忆，而且可以有效影响后续复数的乘法、除法与乘方等运算的准确性.

文字书写上，要做到准确、工整、美观，文字表达的吸引力除了美感，还有表达的简洁与内涵，应追求图文并茂、赏心悦目、重点突出.

三、总结与展望

综上所述，为了体现教学的根本目的与育人功能，片段教学过程应模拟课堂教学的真实情境，展示课型结构、设计明暗主线、融合教学理解，这样才能回归数学课堂应有的素养涵育的目标.

本文仅阐述概念课的结构特征与实践范式，尽管不同课型的教学有许多相通之处，但其他课型，如规则课、习题讲评课的教学还有待进一步论述.此外，对片段教学的评价基本还处于经验阶段，缺乏理论框架支持与量化方法，也有待于进一步研究.