指向高阶思维发展的数学核心知识教学*——以苏教版五上《负数的初步认识》的教学为例

魏光明

【背景】

当下学校教育中出现的学习倦怠、知识危机，在很大程度上是学生对知识的理解不够深刻、不够通透与应用难以迁移、不够灵活造成的。这在一定程度上与课程容量和课堂容量偏多有关。受课堂教学时间的限制和小学生年龄特点、认知规律的影响，我们有必要科学地精简与重组课程内容，通过核心知识教学引导学生深度学习，促进他们学会思考，学会独立解决问题，发展能支撑他们终身发展、适应时代要求的关键能力，尤其是高阶思维能力。

数学教育要为培养未来公民的理性精神和逻辑思维贡献独特的学科力量，需要让学生理解数学基本概念及相关的基础知识，领会基本概念背后的思考方式，体验思考方式背后的价值诉求。选择核心知识展开教学，可以让学生有时间对信息进行深度加工，主动“创生”和联结，建构包含事实、概念、方法和价值这四个要素的完整知识，逐渐完善结构化的知识体系，形成科学的认知方式和高阶的思维模型，提升独立思考和应对未来挑战的能力。

指向高阶思维能力发展的数学教学，应该让核心知识成为一颗颗充满生长活力的“种子”。在教学中，教师要着眼数学思想方法和知识内在逻辑进行长程设计，为后续教学预留生长接口和联结通道；要将知识置于真实情境中，并不断迁移到新的情境中去，在数学与现实世界之间建立关联；要展开持续探究和思辨互动，重视多元表征、变式识别与双向建构，帮助学生建立自己的思维框架和思维方式；要与原有知识建立广泛联系，不断完善和扩充认知结构，进而对所学知识形成清晰、正确、精准、关联、有广度、有深度、有逻辑、有意义的认知。下面，笔者以苏教版五上《负数的初步认识》一课的教学为例，来谈谈怎样设计和实施指向学生高阶思维发展的数学核心知识教学。

【教学设计及意图】

一、解决问题，初识数学原型

1.教师创设情境：王刚经营一家小微企业，每个月的固定支出包括员工工资5 万元、各种税费2 万元、房租1 万元、生活（水、电、煤气等）缴费和其他开支1 万元。如果公司一月份收入10 万元，这个月盈利多少万元？如果二月份收入8万元呢？

师：想一想，盈利是什么意思？怎样计算公司的盈利？（不讨论，也不指名回答，学生独立解答）

2.师生交流互动。

（1）学生汇报方法思路与计算结果。

（2）结合情境，教师引导学生比较两道算式，引出“盈利”与“亏损”这两个概念。

师：两道算式的得数都是“1”，联系减法的意义想一想，这两个“1”表示的意义一样吗？（给学生留下思考的时间）哪里不一样？

师：第一个“1”表示盈利1 万元，第二个“1”表示亏损1 万元。“盈利”和“亏损”是两个表示相反意义的量。

高阶思维产生于真实、复杂的情境。基于真实情境生发而又在不同情境中生长的知识，可以更好地产生迁移。教学新知时，教师应创设贴近学生经验、承载育人价值、隐含知识原型、统摄更多内容、影响更长进程的真实情境，并在现实情境、学生经验与即将学习的知识之间建立起关联。上述教学中，将常用的“温度”情境更换为“盈利和亏损”情境来引入负数，正是基于这样的考量。“盈利和亏损”的情境不仅蕴含正、负数的本质，即表示一对相反意义的量，便于学生在后续学习中体会正、负数引入的必然性和合理性，还在于从情境中抽象出的正、负数具有“可以进行运算”的特征，借助事理就可以让学生感悟有理数的加减运算。此外，在解决问题时激活的数量关系“盈利=收入-支出”可以基于数学逻辑渗透“不够减”的模型，为学生感悟减法运算的封闭性以及规范表述负数的生活意义埋下伏笔。

二、理解本质，逐步完善概念

1.学生举例说明。

教师在黑板上记录学生的答案，然后引导学生进行比较、分析、排除。

师：像“赢利”和“亏损”这样表示相反意义的量在生活中有许多，请你举出几个例子。

师：在这些例子中，哪两个量不是相反意义的量？

2.建立符号表征。

（1）先要求学生用自己的方法简洁表征相反意义的量，再呈现学生的不同表征方法。

师：如果要用简洁的方法记录两个相反意义的量，如记录前面计算出的盈利1 万元和亏损1 万元，怎样记录可以让其他人一眼就能区分开来？试一试。

（2）组织交流活动。

师：你能看懂这几位同学的记录方法吗？听听他们的介绍。

（3）引导学生比较，再统一正、负数的规范表征方法。

师：最简洁的方法就是都用1 来记录，行不行？为什么？哪种方法既简洁又能区分出相反意义？

师（同步板书要点）：盈利1万元记作“+1万元”，+1读作正一；亏损1万元记作“-1万元”，-1读作负一。

3.初步理解含义。

师：“+1万元”和“-1万元”的含义有什么不同？不盈利也不亏损可以用什么数来表示？

师：我们把不盈利也不亏损记作0，把0 看作盈利和亏损的分界线。

当下，一般按照美国教育家布鲁姆的教育目标分类，将“分析”“评价”“创造”列为高阶思维。事实上，通透的理解和灵活的应用常常伴生高阶思维。教学中，让学生说出更多表示相反意义的量，旨在引导学生回归现实生活，寻找丰富多样的背景素材。在对这些素材进行分析、比较、鉴别、分类、剔除错误的过程中，引导学生逐渐发现它们之间的异同，进一步认识相反意义的量，能为学生习得与理解正、负数概念提供有力的支撑。在此基础上，要求学生简约表示盈亏数据，并组织交流，让学生理解不同的方法、不同的见解，经历从个性化的多元表征到规范化的统一表征过程，有助于他们体会用两种数表示相反意义的量的价值，实现知识的自然“创生”和约定表达模型的意义赋予。笔者重视让学生体验用性质符号“+”“-”进行表示的简洁性与合理性，了解正、负数是性质符号连同后面的绝对值组成的一个整体，认识“不盈不亏”的状态是一种用来比较和参照的标准（笔者把这里的标准称为第一重标准），是相反意义的量的天然分界线，可以用0来表示。

4.迁移新的情境。

教师创设情境，学生解读信息。（1）两地气温：零上20℃和零下20℃；（2）两地海拔：比海平面高8844.4米和比海平面低155米。

师：科学家们规定水结冰的温度是0℃，海平面的平均海拔是0 米，你能用正、负数表示两个城市的温度和两个地方的海拔吗？

师：人们习惯把零上温度、高于海平面的海拔记作正数，把零下温度、低于海平面的海拔记作负数。想一想，用正、负数表示温度的分界线是什么？表示海拔的分界线呢？

具有高阶思维能力的学习者在面对新事物、新问题时，知道怎样学习、怎样解决问题。在学生初步认识易于理解的相反意义的量以及表示一个数也没有的天然分界线之后，呈现“温度”和“海拔”情境，介绍人为规定的参照标准，如水结冰的温度是0℃。需要指出的是，这里的“0”并非表示没有，这里的标准有别于前面学习的第一重标准，可以理解为第二重标准。在此基础上，启发学生用正、负数来表示位于标准相反方向上的量（也可以说是相反意义的量），认识人为规定的分界线也可以用0 来表示，进一步丰富他们对正、负数内涵的认识。

5.学生练习巩固。（用情境图呈现信息）

6.教师描述定义。

师：0 是相反意义的量的分界线，它既不是正数，也不是负数。

知识学习是思维发展的过程与载体。准确把握知识的内涵和外延，建立新旧知识之间的联系，建构纵横联结的认知结构，有利于学生形成科学的思维框架和思维方式。鉴于引入负数安排在初步认识分数、小数之后，教学时，无论是用正、负数去表示相反意义的量进行巩固练习，还是对正、负数进行描述性定义，均建议覆盖非0 整数、分数和小数。这样做，旨在帮助学生准确把握一些数的外延，如正数包括正整数、正分数和正小数，负数包括负整数、负分数和负小数。换一个视角，还可以说整数包括正整数、0 和负整数，分数包括正分数和负分数，小数包括正小数和负小数，为后续科学建立“有理数”的概念以及揭示相关知识的结构提供全面的背景材料。此外，基于充分感悟，揭示正、负数的内涵是表示两种相反意义的量，可以更好地促进学生在新的情境中表示、解释、评判和应用。

三、适度延伸，认识“动态标准”

1.学生记录数据。介绍篮球队教练选中3名队员的身高数据（小明身高180 厘米，小红身高120厘米，小刚身高150厘米），要求学生用记录单来记录，并在小组内交流、讨论。

2.展示、讨论记录绝对身高的方法（如表1），进一步认识天然存在的静态分界线。

表1 绝对身高记录表

师：记录三人身高的180、120、150 都是正数，在这里是把什么看作0？

3.展示、讨论记录相对身高的几种方法（如表2～表4），感知并认识人为设置的动态分界线。

表2 相对身高记录表1

师：小红的身高怎么变成0 了？小明和小刚的身高又怎么变成60 和30 了？我们还可以把身高多少厘米看作0？另外两人的身高又可以怎样表示呢？

表3 相对身高记录表2

表4 相对身高记录表3

师：表3 中，小明的身高记为30，小红的身高记为-30，这是为什么？表4 中，为什么小红和小刚的身高都用负数来表示？

4.引导学生比较四种记录方法。

师：同一个人的身高是确定不变的，为什么在四张表中记录的数据却是不同的？

师：表2～表4中的0，是不是表示某一个人的身高就是0厘米？

师：有时候，人们可以根据需要选择一个数量作为标准，规定这个数量为0，再用其他数量与标准进行比较的差来表示其他数量的多少或位置。在表3 中，将小刚的身高记为0，实际上就是将三人的平均身高作为标准。在实际生活和工作中，人们经常会以平均数为标准来记录一组数据，并进行分析。

具备高阶思维能力的学习者在寻求解决新问题的方向、方法和策略时，通常能积极、主动地运用现有知识进行尝试性探究和深层次分析，以建立新的联结，甚至“创生”新的知识和工具。事实上，正、负数概念既是上一个探究过程的结果，又是下一个探究过程的起点，始终处于再分析、再思辨、再联结的过程中。教学中，呈现“标准”不断变化的“连载式”身高记录任务，可以支持学生展开持续、深入的探究，支持学生“从头到尾”地思考，帮助他们形成科学的认知方式和思考方式。在这一环节，让学生用合适的数表示因为“标准”变化而产生的相对数量，解释正、负数在具体情境中的含义，可以进一步深化学生对正、负数的理解。在这里，教师要认识变化的“动态标准”，并引导学生感悟和认识这第三重标准。

四、反思比较，深化概念理解

1.丰富0的认识。

师：在前面的学习中，不盈利也不亏损、气温0℃、小刚的身高都可以用0 表示。这三个0表示的意义一样吗？有什么不同？

师：今天，我们再次认识了0。0 不仅可以表示一个物体也没有，还可以表示一个标准，作为正数和负数的分界线。所以，人们规定0 既不是正数也不是负数。

2.规范数学表达。

师：“盈利1万元”和“亏损1万元”分别用什么数来表示？这里的“-1”是表示“亏损-1 万元”吗？

师：想一想，怎样计算公司二月份的盈利？

师：“-1万元”可以说成亏损1万元，也可以说成盈利-1万元。

师：“-1万元”在生活中还可以表示什么？

3.引导学生回顾反思。

师：在生活中，你在哪里见过负数？试着说一说它们的含义。

师：通过今天的学习，你对正数和负数有什么新的认识？有什么疑问？还想了解有关正、负数的哪些知识？

师：课后，请同学们思考一个问题，历史故事里提到的“公元前100 年”能用“-100”表示吗？

高阶思维常常伴随着对先前学习的综合、对当前学习的反思以及对未来发展的预测。在这一环节，笔者注重引导学生进行三个方面的反思。其一，先引导学生回顾“标准”的产生过程，挖掘“标准”的本质，认识第一重标准表示没有，第二重标准是对特定客观存在的人为规定，第三重标准是可以根据需要动态变化的人为规定；接着引导学生从不同中寻找相同，将三重标准都统一到“0”上去，进一步认识0 是正、负数的分界线，丰富他们对0 的认识。其二，引导学生重新思考“-1 万元”，知道其在具体情境中的意义是“亏损1 万元”“支出1 万元”等。更重要的是，让学生知道其规范表述是“盈利-1 万元”，以便于学生借助数量关系“盈利=收入-开支”来感悟“-1”是由“8-9”计算得到，为后续进一步学习有理数的加减运算做好铺垫。其三，引导学生带着所学知识回到生活中去，实现生活化和数学化的双向切换。同时，基于现有知识提出新的问题，牵动学生进行持续探索和深度追问。