双曲壳结构复合材料的热临界屈曲温度分析

苏建民， 刘炳昌， 李 强

(潍坊科技学院山东省高校设施园艺实验室, 潍坊 262700)

相比较于传统的金属材料，复合材料是通过两种或两种以上不同性质的材料用某种特定方法在宏观尺度上组成的具有新性能及特性的材料。双曲壳结构在日常生活非常普遍，是扁壳的一种形式，所谓扁壳是指薄壳的矢量高度f与被薄壳所覆盖的底面相对较短边a之间比值f/a≤1/5。从几何结构角度来看，扁壳曲面实际上是日常常见普通曲面的一部分，例如柱面壳、球面壳、双曲壳都是扁壳的一种表现形式。双曲壳具有力学性能优良、结构设计美观、经济指标优良、结构跨度范围宽广等优点。由于复合材料具有强度高、刚度大、质量轻并具有抗疲劳、减振、耐高温及其可设计性强等优点近几年在航空航天、机械制造、设施农业、汽车工业等各方面广泛应用。由于复合材料层合结构在工作过程中往往要承受复杂的热载荷作用，所以对复合中间层结构材料进行不同温度条件和结构参数下的热屈曲行为研究是十分必要的[1-5]，但是针对复合材料层合双曲壳结构的研究较少。

文献[6]研究了复合材料层合板在均匀温度场下和非均匀温度场下的热屈曲行为，并探讨层合板的不同边界条件、铺层方向对层合板临界屈曲温度的影响；文献[7]研究分析了在温室条件下层合板结构固有频率变化情况；文献[8]总结了等效单层理论、分层理论的优点，提出了复合材料夹层板、层合板的分段剪切变形的基本理论；文献[9]对新型双曲壳复合夹层结构的阻尼性能特性进行了理论分析研究；文献[10-11]研究并分析了温度变化时对不同厚度层合板的临界热屈曲荷载影响以及纤维铺设方向角度的变化、边界条件的不同对层合复合材料板的临界屈曲温度的影响变化情况；文献[12]在宏观微观模型下建立了湿热效应屈曲控制方程，分析研究了湿度和温度对复合材料层合板屈曲行为，并研究了不同边界条件和不同载荷条件对屈曲行为的影响规律；文献[13]基于经典的层合板理论分析研究了湿热环境条件对复合材料层合板的弯曲性能、临界屈曲温度和振动特性的影响；文献[14]采用 Ravleigh-Ritz法分析研究了复合材料层合板在湿热环境条件下的屈曲性能，在研究过程中同时考虑了材料的弹性性能及热、湿性质是随着温度和湿度变化而变化的规律；文献[15]研究分析了增强层夹心复合材料板的热屈曲特性、阻尼特性等；文献[16]利用经典冯·卡门平板理论和哈密顿原理推导得出复合材料层合板结构运动学方程、复合材料层合板临界热屈曲温度公式，通过求解得到了层合板结构固有频率、阻尼比分布规律；文献[17]分析研究了双曲壳结构的固有频率以及环境温湿变化对固有频率的影响。

现在中外资料对层合板结构的优异性能和热屈曲行为进行了大量研究[18-20]，而对复合材料双曲壳结构的热屈曲研究甚少。复合材料双曲壳结构在工程实践中有广泛的应用，因此对复合材料双曲壳结构临界热屈曲温度进行分析计算，通过有限元BlockLanczos法计算其在均匀温度场下铺层厚度、边界条件、纤维方向等因素对临界热屈曲温度的影响，从而得出一些规律性研究。

1 理论分析

1.1 屈曲临界温度理论公式推导

复合材料层合双曲壳结构的长度别为a、b、h。通过Von Karman经典理论可以推出双曲壳内任一点(x,y,z)的应变-位移关系：

ε=εm+εθ+zκ

(1)

式(1)中：εm、εθ代表应变向量；κ代表曲率向量。通过振动位移公式可以表示为

(2)

式(2)中：u、ν、ω分别是中标系中的位移分量，是满足运动条件的多项式，通过对双曲壳上任意一点的应力以及力沿厚度方向的积分，可以得到温度场作用下的双曲壳中任意一点合力向量N和合力力矩向量M：

(3)

(4)

(5)

式(5)中：R(k)、Q(k)分别可表示为

Q(k)=

温度函数fΔt为

fΔt=Δtf(x,y)

(6)

随着温度差的不断增加，双曲壳的固有频率降低。当其频率值为0时，壳发生屈曲，此时与温度变化量Δtcr即为热屈曲临界温度。如果温度分布函数f(x,y,z)是一定的，可由式(7)、式(8)求解双曲壳临界屈曲温度Δtcr：

(KL-λKT)X=0

(7)

式(7)中：KL表示结构线性刚度矩阵；KT表示温度的刚度矩阵。

双曲壳临界热屈曲温度Δtcr可由最小特征值λ0和初始值Δt0来表示：

Δtcr=λ0Δt0

(8)

双曲壳运动方程的通解为

X(t)=X0eλl

(9)

式(9)中：λ和X0分别为系统的特征值和特征向量；t表示时间。

利用Block-Lanczos有限元分析法，分析层合双曲壳结构的振动特性，对空间区域离散分析，根据节点单元位移差值公式：

(10)

表述成矩阵如下：

(11)

1.2 双曲壳结构模型验证

双曲壳结构参数如下：弹性模量E1=125 GPa，E2=5 GPa；剪切模量G12=G13=2.5 GPa，G23=1 GPa，泊松比ν12=0.25，密度ρ=1 600 kg/m3，a/b=1，a/h=100，Rx=Ry=R，λ=[ωa2(ρ/E2h2)1/2]

四边简支条件下自由振动无量纲基频收敛情况如表1所示。

表1 文献解与本文解的无量纲基频

由表1可知，通过本文计算模型得到的复合材料双曲壳结构的无量纲基频随着Ry/b的增加而减小并且本文计算的双曲壳结构的无量纲基频与文献结果吻合度良好，误差在3%以内，从而验证了本文模型的正确性。文献[17]使用的是Navier解法只适用于四边简支的边界条件的求解；而本文所用Block-Lanczos法不仅适用于四边简支的边界条件的求解，同时也适用于其他一些边界条件求解，比如四边固支等。

2 铺层厚度对层合双曲壳结构临界屈曲温度的影响

层合双曲壳结构模型如图1所示。层合双曲壳结构各层厚度为1、1、1 mm，弦长为0.4 m，半径为0.5 m，圆心角为π/6，四边简支约束,各向异性的层合复合材料双曲壳结构各项参数：弹性模量E1=132 GPa，E2=10.3 GPa；剪切模量G12=G13=65 MPa，G23=3.91 GPa，泊松比ν12=0.25，密度ρ=1 570 kg/m3，热膨胀系数α1=1.2×10-6℃-1，α2=2.4×10-5℃-1。

图1 双曲壳模型Fig.1 Model of doubly-curved shells

层合双曲壳结构采取三层铺层，每层厚度从1 mm逐渐增加到3 mm。利用DEWESOFT模态测试仪采用单点激励、多点拾振的方法进行锤击实验，研究不同厚度下层合双曲壳结构的mode(1,1),mode(2,2)的临界屈曲温度的变化情况，详见表2四边简支(SSSS)、四边固支(CCCC)边界条件下临界屈曲温度变化情况。

由表2和图2可知，层合双曲壳结构的厚度对临界屈曲温度影响非常大，弦长、半径、包心角一定的情况下：四边简支条件下mode(1,1)、mode(2,2)临界屈曲温度呈上仰曲线变化，其中mode(2,2)上仰趋势比mode(1,1)的上仰趋势明显，这表明四边简支边界条件下层合双曲壳结构的厚度对mode(2,2)临界屈曲温度比mode(1,1) 临界屈曲温度影响

表2 双曲壳结构中不同边界条件下厚度对临界屈曲温度影响

图2 厚度对临界屈曲温度影响Fig.2 Effect of thickness on critical buckling temperature

更加明显；四边固支条件下mode(1,1)、mode(2,2)临界屈曲温度呈直线变化，其中mode(1,1)、mode(2,2)临界屈曲温度随厚度变化曲线斜率基本一致，这表明四边固支边界条件下层合双曲壳结构的厚度对mode(1,1)、mode(2,2)临界屈曲温度影响基本一致。由上可见，无论是在四边简支还是四边固支边界条件下，层合双曲壳结构的mode(1,1)、mode(2,2)的临界屈曲温度随厚度的增加而提高，而且都变化非常明显，因此在复合材料双曲壳的结构设计中可以增加厚度来提高临界屈曲温度。

3 不同边界条件对层合双曲壳结构临界屈曲温度的影响

在保持复合材料双曲壳结构厚度不变的前提下，施加不同的边界约束条件。利用Block-Lanczos分析法对双曲壳结构进行求解，结果如表3所示。

表3 双曲壳不同边界条件下的临界屈曲温度

由表3可知，随着边界条件的不同，层合双曲壳结构的临界屈曲温度值变化非常明显。当边界条件为CCCC时，层合双曲壳结构mode(1,1)、mode(2,2)临界屈曲温度最高，而当边界条件为CFFF(F代表自由边)时层合双曲壳结构mode(1,1)、mode(2,2)临界屈曲温度最低；固支或简支边数越多，临界屈曲温度越高；当固支或简支边数相同时，则固支或简支对称约束时临界屈曲温度较高。因此双曲壳结构在边界约束时，尽量选择简单明了的简支或固支约束。

4 铺层角度对层合双曲壳结构临界屈曲温度的影响

4.1 四边简支边界条件下铺设角度对临界屈曲温度影响

在保持复合材料双曲壳结构厚度不变的前提下，施加四边简支的边界约束条件，通过改变铺层角度。利用Block-Lanczos分析法对双曲壳结构进行求解，结果如表4、图3所示。

表4 四边简支边界条件下不同铺设角度的临界屈曲温度

图3 四边简支边界条件下铺设角度-临界屈曲温度曲线Fig.3 Laying angle-critical buckling temperature curve under simply supported boundary conditions

由表4和图3可知，在简支条件下改变层合双曲壳结构基层、中间层，其mode(1,1)的临界屈曲温度在0°～45°随着角度的增加而提高，在45°～90°随着角度的增加而降低；同时改变基层、中间层变化规律与单独改变基层、中间层相似；45°点是mode(1,1)临界屈曲温度最高点。

在简支条件下改变层合双曲壳结构中间层，其mode(2,2)的临界屈曲温度在0°～45°随着角度的增加而提高，在45°～90°随着角度的增加而降低；改变基层，其mode(2,2)的临界屈曲温度在0°～45°随着角度的增加而降低，在45°～90°随着角度的增加而提高；同时改变基层、中间层时变化规律与改变基层相似，但相比于基层变化更明显。45°点是mode(2,2)临界屈曲温度变化的转折点。

由此可知，在简支条件下改变层合双曲壳结构的各层铺层角度，其mode(1,1)、mode(2,2)的临界屈曲温度变化规律是不一致的，这对复合材料双曲壳的结构设计和实际应用时，提供一定的参考。

4.2 四边固支边界条件下铺设角度对临界屈曲温度影响

在保持复合材料双曲壳结构厚度不变的前提下，施加四边固支的边界约束条件，通过改变铺层角度。利用Block-Lanczos分析法对双曲壳结构进行求解，结果如表5、图4所示。

表5 四边固支边界条件下不同铺设角度的临界屈曲温度

图4 四边固支边界条件下铺设角度-临界屈曲温度曲线Fig.4 laying angle-critical buckling temperature curve under Fixed supported boundary conditions

由表5和图4可知，在固支条件下改变层合双曲壳结构中间层，其mode(1,1)、mode(2,2)的临界屈曲温度在0°～45°随着角度的增加而提高，在45°～90°随着角度的增加而降低；改变基层，其mode(1,1)、mode(2,2)的临界屈曲温度在0°～45°随着角度的增加而降低，在45°～90°随着角度的增加而提高；同时改变基层、中间层时变化规律与改变基层相似。45°点是mode(1,1)、mode(2,2)临界屈曲温度变化的转折点。由此可知，在固支条件下改变层合双曲壳结构的各层铺层角度，其mode(1,1)、mode(2,2)的临界屈曲温度变化规律是基本一致、更加接近的，在固支条件下临界屈曲温度的变化规律比简支条件下屈曲温度的变化更见清晰。

5 总结

(1)四边简支或四边固支边界条件下，复合材料双曲壳结构的前两阶临界屈曲温度随厚度的增加而提高，并且双曲壳结构厚度变化对临界屈曲温度影响非常明显。

(2)边界条件的不同，双曲壳结构的临界屈曲温度值也明显不同，固支或简支边数越多，临界屈曲温度越高；当固支或简支边数相同时，则固支或简支对称约束时临界屈曲温度较高。

(3)无论在简支还是固支边界条件下改变双曲壳结构的中间层铺层角度，其前两阶的临界屈曲温度在0°～90°变化规律是一致的(变化曲线呈中间高两侧低的上凸曲线)，45°点附近是前两阶临界屈曲温度最高点。

(4)存在一个最佳铺层角度，使双曲结构获得一个最大的临界屈曲温度，因此在结构设计时应选用最优角度值。