义务教育阶段的直观想象及培养

孔凡哲 教育学博士，中南民族大学教育学院副院长、二级教授、博士生导师，中南民族大学教育硕士学位中心主任，湖北民族教育研究中心主任，全国高考数学命题专家，国家义务教育数学课程标准研制组核心成员，高中数学课程标准研制组成员，教育部中学教师专业标准研制组成员、义务教育质量监测专家、教育现代化县级示范区评估专家、哲学社会科学重大重点项目评审专家;主持完成国家、省部级以上科研项目12项;出版专著47部;先后获得教育部第七届高等学校科学研究（人文社会科学）优秀成果奖著作奖、教育部第四届全国教育科学优秀成果奖著作奖、教育部第五届全国教育科学优秀成果奖著作奖等奖项。

数学素养是现代社会每一个人应该具备的基本素养，直观想象是其中的一种重要素养，因此数学课程标准把培养直观想象列入课程目标。培养和发展中小学生的直观想象既是数学学习所必需，又是学生未来生存和创造的基础。

直观想象指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形理解解决数学问题的素养。直观想象主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述分析数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。直观想象具体表现为：感悟实物与图形、图形与图形之间的相互转换关系;建立形与数之间的联系;利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物。直观想象的核心成分是“空间想象”和“几何直观”。空间想象涉及“图形与几何”的大部分内容，在这些内容的课程教学中，发展空间想象集中体现为“实像—抽象—想象—活动”四要素，而几何直观几乎涉及所有数学课程内容。发展几何想象需要统筹渗透，集中培养。

一、把握“实像—抽象—想象—活动”四要素，发展空间想象

第一，实像——几何操作。这里的操作，既可以是实物操作，也可以是模拟场景下的操作，还可以是抽象层面的操作。例如：

【案例1】 小猫、猴子、长颈鹿到好朋友大象家做客，看到客厅的摆件台（全貌图如图1所示）。你认为3幅图分别是谁看到的画面？为什么？

[分析] 小猫、猴子、长颈鹿的身高决定了其观察的视角——长颈鹿是俯视，猴子是平视，小猫是仰視。俯视是上面的图形显得大、下层的东西显得小，而且能看到第一层摆台的上面;平视只能看到中间摆台的一条棱和第一层摆台的底面;仰视只能看到摆台第一层的底，而看不到第一层的上面。所以，图2是猴子看到的画面，图3是小猫看到的画面，图4是长颈鹿看到的画面。

第二，抽象，包括几何概念的抽象、图形的抽象、图形性质的探讨。首先，这里包含几何概念的抽象过程。例如：“角”的概念的抽象过程——让学生亲身经历“从一点出发的两条射线所围成的图形就是角”。其次，经历从大量生活原型中抽象出结论的过程，既是发展图形抽象能力，也是空间想象的形成过程。不仅如此，操作之中的想象与想象之后的操作验证，都是空间想象形成所必需的。先想象一下，再动手（几何）操作，再回想（几何）操作的过程，是培养空间想象的重要环节。

第三，想象——借助相应的课程内容，采用辅助手段（如手机的照相功能、特定软件等），能培养学生的想象能力。例如，动态软件生成的方位判断：软件呈现的是一个人站在天安门广场中央环视广场的场景，学习者可以拖动鼠标滑动画面，形成人在广场上转动可以看到广场东西南北各个场景画面的效果。如果告知你某一个画面（比如，天安门城楼）是北面，那么，南面是哪个画面？东面、西面又分别是哪个画面？

这个软件的最大优势是利用软件模拟身临其境的效果。拖动鼠标达到亲眼看到东西南北场景的效果，其中包含了空间推理，凸显了空间想象中的方位感的作用，是训练方位感非常好的工具。

第四，特定的活动——必须让学生亲身经历的几何活动。学生在活动中感悟、体会，才能逐步形成空间想象。例如：

【案例2】 右图是在上海外滩拍到的不同视角的照片。你认为图6～图9大致是在哪个方位拍摄的？为什么？

总之，把握实物与相应的平面图形、几何体与其展开图和三视图之间的相互转换关系，不仅是一个思考过程，也是实际操作过程。把上述表现进一步延伸，就是尝试着物化那些感知到的、在直观水平上有所把握的转化关系，能采用适当的方式描述物体间的相互关系，能从较复杂的图形中分解出基本的图形，能根据条件做出立体模型或画出图形，重现感知过的平面图形或空间物体。无论是做立体模型，还是画出图形，都要在头脑加工和组合的基础上通过实际尝试和动手操作来实现。这种重现能使几何事实基于直观的表象、联想和特征得到实实在在的表示，使直观想象从感知不断发展为一种可以把握的能力。

二、把握几何直观的具体表现

在义务教育数学课程中，几何直观具体表现为如下4种表现形式：一是实物直观，二是简约符号直观，三是图形直观，四是替代物直观。

实物直观即实物层面的几何直观，指以与研究对象有着一定关联的现实世界中的实际存在物为参照物，借助其与研究对象之间的关联，进行简捷、形象的思考，获得针对研究对象的深刻判断的能力。例如：在小学数学“数位”的学习中，10根小棒捆成一捆，10捆装成一箱，这里的一根小棒、一捆小棒、一箱小棒，就是针对个位1、十位10、百位100的实物直观形式，虽然量纲“捆”“箱”有人为规定的成分，却与常理相符。

简约符号直观即简约符号层面的几何直观，是在实物直观的基础上进行一定程度的抽象所形成的半符号化的直观。例如，在行程问题中，常用的线路图就是一种简约的、符号化的直观图示。图10也是这种类型，是针对代数关系的简约符号直观形式。

这种简约符号直观是经过一定的数学抽象而形成的，与现实生活原型相比，具有一定程度的抽象性。凭借这种图示分析解决问题，就是简约符号层面的直观（能力）在发挥作用。

图形直观是以明确的几何图形为载体的几何直观。图11就是代数法则（a+b）c=ac+bc的直观图形。凭借图11，学生可以轻松自如地理解（a+b）c=ac+bc。

替代物直观是一种复合的几何直观，既可以依托简捷的直观图形，也可以依托用语言或学科表征物所代表的直观形式，还可以是实物直观、简约符号直观、图形直观的复合物。计算“28+7”，可以借助计数器来表示，也可以借助“10个鸡蛋一盒”或“10根小棒一捆”来分析。对于“28+7”来说，计数器、“一捆小棒”“一盒鸡蛋”就是相应的直观图形的替代物。而在统计问题中，借助一个圆片代表样本数据“1”可以很好地理解“移多补少”，进而掌握“平均数”的概念。这里的“圆片”就是样本数据“1”的替代物。

一般地，“实物直观“通常是现实世界中存在的实物模型，能比较直观地体现某些数学对象的特殊属性，属于最低级的抽象。”替代物直观“是在现实模型基础上的进一步抽象，已经具备一定的抽象高度。以计数器为例，与“小棒”相比，计数器已经将数位的含义明确表示出来（具有普适性和公共的约定性），而不是某些人的人为规定（例如，有的学生将一把小棒捆成一捆，而未必是10根一捆）。与“替代物直观”相比，“图形直观”的抽象程度更高、综合程度更强。例如：图11就将代数关系（a+b）c=ac+bc很巧妙地融合在三个矩形之间的面积关系之中，既有代数的抽象，又有几何图形的抽象。

三、将直观想象的培养融入数学课程内容之中

第一，空间想象需要渗透在“图形与几何”学习的方方面面，而几何直观需要渗透在数学学习的各个领域，特别是在“数与代数”“统计与概率”“实践与综合”领域。

首先，几何中的几何直观无处不在。义务教育阶段数学中的几何学主要诉诸学生的直观感受，借以识别各种不同的几何图形及其关系。反映几何直观的相关内容是一切几何学的基础，贯穿于几何学领域（即“图形与几何”）之中。这些内容既是经验几何的中心内容，也是推理幾何的重要参照和素材。因而，让几何“动”起来、数形结合等，都是为了有效发挥几何直观的作用，更好地培养学生的直观想象。例如：通过观察、操作等活动，进一步认识三角形、平行四边形、梯形、长方体、正方体等几何形体;利用学生常见的事物引导学生感受和探索图形的特征，丰富几何活动经验，建立初步的空间想象和几何直观，等等。因而，积累几何活动经验就成为几何教育的一个更加直接的目标和追求。拥有丰富的几何活动经验并且善于反思的人，他的几何直观更有可能达到更高水平。

其次，“数与代数”中的几何直观是理解和把握代数抽象的有力工具。对于相对抽象的数与代数来说，恰当的几何直观往往是帮助学生建构理解的有力“抓手”。更一般地，几何直观有助于将抽象的数学对象直观化、显性化。因而，在“数与代数”中，寻找数学对象的直观模型是有效发挥几何直观的重要环节之一，也是培养几何直观的有效途径。

第二，就九年一贯制教育的整体而言，随着年级的升高，几何直观的层次需要逐级提升，从最初侧重于实物直观、关注实物抽象，逐步过渡到以符号直观、图形直观为主，实物直观为辅，即重点关注符号抽象、图形抽象。而空间想象的发展涵盖“根据物体特征抽象出几何图形”“根据几何图形想象出所描述的实际物体”“想象出物体的方位和相互之间的位置关系”“描述图形的运动和变化”“依据语言描述画出图形”等，而不可局限在某些方面，比如从实物到图形的转换。

第三，培养和发展直观想象，必须与思维水平提升、“四能”培养结合起来。

几何直观有助于将抽象的数学对象直观化、显性化，因而，寻找数学对象的直观模型是有效发挥几何直观的重要环节之一。借助恰当的图形、几何模型进行解释，能够启迪思路，帮助学生理解和接受抽象的内容和方法，而抽象观念、形式化语言的直观背景和几何形象，都为学生创造了主动思考的机会和揭示经验的策略，能使学生从洞察和想象的内部源泉入手，通过自主探索、发现和再创造，经历反思性循环，体验和感受数学发现的过程。数学发展的历程表明，越是高度抽象的数学内容，越需要形象直观的模型作为其解释和支撑，即使是推理几何的功臣欧几里德，在进行几何学的论述过程中仍然依赖了头脑中的图形直观。无论是数学家的研究，还是学生的数学学习，直观本身不是目的，而是手段。对数学学习而言，直观是为了形成学生的生动表象并借以形成概念、发展规律，促进抽象思维的发展。

几何直观需要较高的思维水平，从而更需要教师在日常教学中不断地、主动地运用几何直观帮助学生建构自己的数学理解，有意识地培养学生的整体思维方式和数形结合意识，帮助学生把握起核心作用的那些基本图形，如三角形、正方形等。

教师具有培养学生直观想象的自觉意识是重要的，而将直观想象的培养自始至终落实在数学课程教学的每个环节是至关重要的。这种工作以保护学生先天的直观潜质为起点，以有效提升学生的直观想象水平为终点，最终目的是让学生形成针对几何的敏锐洞察力和深厚的数学素养。

责任编辑  姜楚华