让学生在纠错中成长

仲一萍

摘 要：数学纠错教学是指教师以学生数学学习中产生的错误为教学起点，引导学生分析错因、自主纠错，加强学生对一类薄弱问题的分析解决能力，从而提升学生的数学素养，使学生的认知及思维能力得到有效提升。

关键词：数学纠错教学;解题能力培养

中图分类号：G633.6          文献标识码：A     文章编号：1992-7711（2020）11-081-2

在前不久刚结束的2019—2020年度苏锡常镇高三教学情况调研（俗称一模）考试中，有几道试题的得分情况很不理想。笔者在试卷讲解的时候有意加强了对于学生自主纠错能力的培养，取得了不错的教学效果，现做简单摘录如下。

一、课前让学生自行尝试纠错

教师对于学生考试中出现的错误，不仅要知其然，更要知其所以然。对于学生出现的错误可以作简单的归类：知识性错误、逻辑性错误还是策略性错误。结合错误的类型和学生的实际知识水平，可以让学生在课前对部分错题尝试进行自我纠错。如果学生能自行找出错因并加以纠正，使学生经历“识错—纠错—反思”的过程，对于学生的成长具有很大的帮助。

例1 （一模第12题）在△ABC中，（AB-λAC）⊥BC（λ>1），若角A的最大值为π6，则实数λ的值是    。

本题考查了平面向量的数量积和解三角形的应用问题，属于中档题。但是考试结果显示本题的正确率并不高。试卷讲评前通过与学生交流得知，错误的同学也都知道应该要把向量垂直这个条件转化为向量的数量积为0这个条件上来，但是接下来却不知道怎么运算下去。笔者提醒他们注意观察题中所涉及的三个向量的起点以及所给的角度A。学生通过分析，很容易发现应该把向量BC转化成AC-AB，这样转化以后所有涉及到的向量都是以A为起点的，而且在数量积的展开式中的AB·AC这一项也可以和角A联系起来，最后借助基本不等式和角A的范围，可以求解出实数λ的值。解答如下：因为（AB-λAC）⊥BC，所以（AB-λAC）·BC=0，

即（AB-λAC）·（AC-AB）=0，展开可得（1+λ）AB·AC=AB2+λAC2，也即（1+λ）bccosA=c2+λb2，所以cosA=c2+λb2（1+λ）bc≥2λbc（1+λ）bc=2λ1+λ，又因为角A的最大值为π6，所以cosA≥cosπ6=32，所以2λ1+λ=32，又λ>1，解之得λ=3。

在试卷讲评之前对于考试中因各种原因引起的失误或思考不周引起的错误，可以引导学生尝试自我纠错。通过学生自我纠错，使学生对于问题可以有更好的认识，以及积累属于学生自己的解题经验。对于学生独立思考仍然不能解决的问题，可以引导学生回顾做过的类似题型、相互讨论等方式加以纠正。学生通过自己的努力完成的纠错所获得的成就感是对学生信心的极大鼓舞。

二、课中让学生自主探究纠错

数学纠错教学不仅是让学生巩固数学知识、掌握解题方法的过程，更是教师深入了解学生认知水平，发展学生数学思维的过程。在纠错教学过程中，教师应注重纠错的艺术性，注意“放手”，尽可能让学生自行审视自己的解法，探寻错误产生的根源。争取做到让学生自行找到错误的本质，能对症下药，学会反思总结，能找出纠错的方法与改进的措施。帮助学生养成缜密的思维习惯，提高学生的认知和解题能力，更可以让学生收获从失败到成功的心理满足感。

例2 （一模第14题）在△ABC中，AB=4，D是AB的中点，E在边AC上，AE=2EC，CD与BE交于点O.若OB=2OC，则△ABC面积的最大值是    .

本题是填空题的压轴题，考查的主要知识点是隐形圆的性质，对于学生的综合能力要求较高。本题分值5分，但是苏州全市的平均得分仅0.3分，可见本题对于学生的杀伤力如何强大。在讲解本题之前，筆者先问了学生记忆中是否有过类似的图形及条件出现过？有少数同学犹豫着回答说在2019年江苏高考卷中有类似图形（全班都曾做过此份试卷）。于是笔者便将2019年江苏高考卷第12题投影了出来：

如图：在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O。若AB·AC=6AO·EC，则ABAC的值是。

两个题目一经对比，许多同学本已模糊的记忆也被慢慢地唤醒了。笔者接着追问当时是如何处理本题的，有不少同学依稀记得是取了BE的中点，构造了一条平行线段。然后笔者便留了足够的时间让学生自行探讨14题的解决方法。

学生1：我用与高考题相似的处理方法，先取线段AE的中点F，易知AF=EF=CE，连接DF，则可以证得线段DF∥BE，也就可以得到DF∥OE，然后可以证得O为CD中点。但是下面我就不知道该怎么处理了。

教师：你分析得很好。那么OB=2OC这个条件该怎么运用呢？

学生2：这个条件和阿波罗尼斯圆的定义可以联系起来。我采用了建系的方法，以AB所在边为x轴，D为坐标原点建立直角坐标系，则A（-2，0），D（0，0），B（2，0），设O（x，y），则C（2x，2y）。这样OB=2OC这个条件就可以用坐标表示为（x-2）2+y2=2（2x-x）2+（2y-y）2，化简可以得到点O的轨迹方程是（x+2）2+y2=8，不过下面我不知道怎么把这个条件和△ABC的面积联系起来。

学生3：只要换成直接设C（x，y）就可以了，那么O（x2，y2），再列式化简就可以得到点C的轨迹方程是（x+4）2+y2=32，所以△ABC的面积最大值S=12AB·r=12·4·42=82。

教师：你分析得非常好，还有同学有不同的思路吗？

学生4：因为O是CD的中点，所以OB=2OC可以转化成OB=2OD，设O（x，y），列式可得（x-2）2+y2=2x2+y2，化简可以得到点O的轨迹方程是（x+2）2+y2=8，此时可以求出△ABO的面积的最大值为12·4·22=42，因为O是CD的中点，所以△ABC的面积就是△ABO面积的2倍，所以△ABC的面积的最大值就是82。

在高三复习中，我们应该引导学生将试卷上所犯的错误进行必要的归纳整理，对于“形似质异”的问题加以识别和反思，培养学生在“联系”的状态下获得新的经验和感悟。

三、课后让学生巩固纠错效果

试卷讲评的目的是巩固基础、发展思维，提高解题能力。为了巩固纠错效果，教师可以对原始错题的条件或者结论进行适度改造，设计一系列巩固题或者拓展题。这种由浅入深、相互关联拓展的变式训练，能激发学生探究问题的热情，认清问题的本质，提高学生的认知水平，强化学生对于此类问题的思维探索能力，有利于巩固纠错效果。

（作者单位：苏州市吴江区平望中学，江苏 苏州215000）