《二次函数最值问题的探究》课例

王立

一、课例背景

二次函数是高中数学的难点也是重点，尤其当二次函数遇到绝对值时，学生更是无从下手！学生刚刚上高中，对分类讨论的思想还很不熟悉，不知道如何讨论，为了更好的研究这类问题，本人特意开了一节含绝对值的二次函数最值问题的公开课。

二、课堂实录

师：同学们，二次函数是我们初中就开始接触的一类基本函数，这类函数在高中也是很重要的，而命题者往往习惯将二次函数加以变形来考查大家。那么这节课我们就一同学习一下《含绝对值二次函数最值问题的二次教学》。（教师书写板书标题）。

师：首先请大家先做下面一道题：

例：已知函数 ，求 最小值。

生1：先讨论去掉绝对值

然后就作图（学生叙述，教师板书画草图）

师：这里画图时其实就是两个二次函数中的一部分，需要注意的是：一、对称轴的位置和分界点“1”的位置之间的关系，二，分界点处的函数值唯一，即分界点无论代到哪个解析式，得到的值都应该是一样的。

師：接下来我们一起来做一下杭州二中的一次模拟试题

已知函数 ， ，求 在 内的最大值。

由于时间关系，这里教师给学生思考的时间比较短，大概四五分钟左右。

师：谁来说一下你的思路？

生7：先讨论去掉绝对值

然后讨论两个对称轴 和 与分界点之间的关系。

师：很好，那应该有几种情况呢？

生7：

生7：然后分为 ， ，

由于时间关系，后面的具体过程由教师板书书写，

（1）当 时，即 时，作图有

如图可知 .

（2）当 时，即 时，作图有

如图可知

因为 ，所以

所以

所以当 时， ;

当 时， .

（3）当 时，即 时，作图有

如图可知 .

又 ，所以 。

即 .

师：我们这节课了解到了解决这种含绝对值的二次函数最值问题需要用到分类讨论思想和数形结合思想，其中分类讨论主要是讨论对称轴和分界点之间的关系。大家这节课表现的非常好，为了我们的表现给自己一点鼓励。

三、课后反思

本节课《含有绝对值的二次函数最值的二次教学》也是学考的一个重点及难点，它一般出现在学考的最后一道解答题中，难度很大，针对高二的学生既没有经过系统的复习，又没有参加过第一次学考，难度不言而喻。

这节课没有选择投影的主要原因在于这节课要用到数形结合，而画图这里如果用几何画板给学生展示，那么学生做题时可能还会出现不会画的情况，所以本节课采用传统的板书，没有利用任何多媒体。

但是，由于时间关系，最后一道解答题教师只让学生说了解题思路，而画图及具体的解法完全由教师本人书写，这样的教学效果其实是和本人设计的初衷是有一些出入的。

其实本节课一共就讲三道题，而第二题中学生的问题就已经展现出来了，即分类讨论不知道从何处下手，所以耽误的时间较多，如果本人提前将例题即变式给学生，即做成“学思案”，作为课前预习内容，那么这节课可能会效果好得多，既可以留下更多的时间让学生去思考最后一道题，让学生感受分类讨论和数形结合的思想，而且也正好符合高中数学学科素养的逻辑推理素养。