静摩擦因数临界问题的探讨

沈 静

(江苏省盐城机电高等职业技术学校 224000)

在物理研究领域，为方便分析，需要进行一定的简化处理，比如对接触的两个物体在静摩擦因数很大条件下，一般需要适当化简，不过在化简时，应该注意到相关状态改变，避免出现临界问题而导致错误.

例如图1，在水平面上，存在一个竖立的匀质直杆子，其长为2α、质量为m，和地面的静摩擦因数足够大.对其施加一微扰，而开始自由倒下，杆的下端开始脱离地面时，求解其与竖直方向夹角为多大？

图1

(1)确定出分离时的状态

具体情况如下，初始条件为初始离地瞬间，根据机械能守恒定律进行分析可知，存在关系式

①

②

根据转动定律进行分析可知

mgasinθ=Iβ

③

转动的角加速度，表示如下

④

此位置处，直杆质心转动的两个方向的加速度可表示为

⑤

(2)确定出分离时的角度

第一种方法,进行受力分析可知，在分离瞬间,在竖直方向单纯只有重力作用到杆上，这种情况下存在关系式

mg=maτsinθ+mancosθ

⑥

进行求解可确定出分离瞬间,杆与竖直方向的夹角表示如下

第二种方法，竖杆分离瞬间，杆水平方向不受力，这里根据牛顿第二运动定律可知

maτcosθ-mansinθ=0

⑦

求得，杆与竖直方向间夹角是

分析可知以上方法确定出的结果不一致，何故？

(3)问题分析

本题为直杆与地面分离相关的临界问题，临界分别为前一个状态的末态，以及后一个的初态，表现出一定的过渡属性.具体分析可知，在静摩擦因数充分大情况下，两个物体接触的正压力不为零，静摩擦力表现出一定的变化性.在此临界条件下，正压力趋于零，不过也有一定大小的静摩擦力，而在分离后则摩擦力为零.由此可判断出在此条件下，分离前后，摩擦力会大幅度改变，且对应的加速度同样的改变.而以上例子在进行求解时，没有将分离前、后瞬间划分开而导致错误.公式⑤计算分析确定出的为分离前瞬间加速度，此条件下正压力已经很小，但仍存在一定摩擦力.因而⑥式正确，⑦式由于没有区分分离前后而出错.因而在实际的应用过程中为避免出现这类问题，应该确定出对应的状态为分离前还是分离后瞬间，在前一种条件下应该分析一定大小的静摩擦力.

(4)过程分析

在分离前任意角度条件下，公式①式到⑤式均成立，在一定角度下杆受摩擦力为f，支持力为N, 则进行受力分析可知存在关系式

图2显示了二者的关系曲线，具体分析可知在此变化过程中,弹力N逐步趋于零，而分离前瞬间f向左，而在分离后则变为零.

图2

(5)拓展应用

以上在举例分析基础上，讨论了静摩擦因数充分大条件下，物体分离前后的摩擦突变问题，接着对类似的问题进行分析.如图3所示，将一个小球放在半圆柱顶端，小球的质量为m、半径为r，半圆柱体的截面半径为R=7r、质量为M=1.5m，假设二者间的静摩擦因数充分大，适当对小球一微扰促使其滚下.计算出在两种状态下小球与圆柱脱离时，对应的θ数值.

图3

①半圆柱固定时，小球与圆柱脱离时的θ;

②半圆柱和地面间无摩擦时，小球与圆柱脱离时的θ.

第1种状态下，初态到任意角度θ过程中，根据机械能守恒定律分析可知存在关系式

静摩擦因数充分大，则脱离前，小球必然无滑滚动，关系式为

u-ωr=0

在分离前瞬间，二者的触点法向不存在弹力，而切线方向可能存在静摩擦力，而法向存在如下关系式.

进行求解可确定出

第2种状态下，任意θ角度对应的末态，设半圆柱向左的速度是v1，小球速度是u,由初始状态到当前状态，根据机械能守恒定律可知

由水平方向动量守恒，可知

mucosθ-(M+m)v1=0

分离前瞬间，设二者间存在如下静摩擦力,则半圆柱存在一定加速度，进行力学分析可知

fcosθ=Ma1

对小球质心，根据转动定律分析可知，存在关系式

在圆柱参考系中，分析可知，在无滑滚动条件下满足关系式

小球切向和法向存在如下动力学关系

其中F*为惯性力.

由于分离前瞬间，不存在弹力，则角度应该满足如下关系式

求得θ=0.944rad=54.1°

这种条件下二者间的摩擦力为0.217.而在半圆柱系下进行临界分析时，应该讨论惯性力因素，在此存在一种常见的错误观点为，分离后瞬间半圆柱在水平方向不受力，而将分离的条件表示为:

在此应该注意到在分离前瞬间，圆柱已经出现一定的运动，在受力作用下圆柱体开始减速.这种现象表现出一定反常性，具体分析此现象出现原因为，设定了“静摩擦因数足够大”，不过进一步分析可知这种现象虽然 “反常 ”但依然符合物理规律，可基于相应的定律进行分析求解.