高等数学中三重积分“计算方法的选择”问题研究

摘  要：在高等数学三重积分的学习中会涉及到“方法的选择”问题，如何正确选择方法关系到能不能解答出题目以及计算量的繁简问题，需要深入分析研究。本文通过对高等数学中三重积分方法的不同选择，强调既要遵循一般的选择规律也要灵活处理。

关键词：高等数学;三重积分;截面法，投影法

高等数学三重积分的学习中会涉及到“方法的选择”的问题，这是解决三重积分首先要明晰的问题，是高等数学教学中一个非常重要的内容，也是一个难点所在。首先要明确选择哪种坐标系，然后采用不同的方法解决，方法选择不合适会导致不能够解出答案，以及计算的难易不同。通过下面这个例题两种不同方法的选择，让学生明确灵活处理问题的重要性，能帮助学生突破这个难点。

一、三重积分的计算步骤：

（1）画出积分域的图形，知道边界面的方程，从而正确定出上下限;

（2）根据积分域特征及被积函数的特点，确定是选用切条法（投影法），还是用切片法（截面法）;

（3）根据上述结果，化三重积分为累次积分并计算。

（4）一般情况下：投影法用得更多，某些特殊情况下截面法更简便。

（5）运用“截面法”的一般要求： ;且截面为圆、椭圆、三角形、正方形等，面积容易求出。

二、关于不绝对使用截面法的说明，就是说有时候按照常规思维应该用投影法，但是我们用截面法也可以解决，下面举例说明这一点。

分析：①作图：W是上半球体，它在xy面上的投影区域Dxy是单位圆x2+y2 ≦ 1. ② 选法：切条法（投影法），切片法（截面法），都可用。③定限

方法一：分析：截面法做题2个要点（先二后一，不需要知道三个上下限）

1.通過过z点去截面可得知截面的形状;从而知道面积该怎么算（一定要把Dz 的方程求出来）;

2..知道z的取值范围，才能知道单积分的上下限。

解：截面法：

当0?z?1时，过（0，0，z）作平行于xOy面的平面，截得立体W的截面为圆。

方法二：分析：投影法做题要点（分成三次积分来完成）

不画立体图明确上顶、下底、投影区域（需要知道三个上下限）

1.找出上顶、下底：找含z的两个方程;

2.找出投影区域：不含z的方程，且由1-3条线围成;

3.画出投影区域图Dxy（要考虑选法：直角坐标有X，Y型，极坐标先r后q）。

解：投影法：W是上半球体，它在xy面上的投影区域Dxy是单位圆x2+y2 ≦ 1，选择柱面坐标计算三重积分

令 x=rcosq，y=rsin q，z=z

平面 z = 0 的柱面坐标方程为z=0

综上：选择投影法或者截面法既要遵循一般选择规律也要根据题目灵活应用。

参考文献

[1]  同济大学数学教研室主编.高等数学[M] .北京：高等教育出版社，1992.

[2]  杨晋浩，张勇，罗钊.高等数学（上册）[M] .北京：科学出版社，2010.

[3]  罗钊，韩天勇，王伟钧.高等数学（下册）[M] .北京：科学出版社，2010.

作者简介：吴文前，成都大学信息科学与工程学院副教授，硕士，研究方向：数学教育。