浅议化归思想在高中数学解题过程中的应用

蔡娟兰

[摘 要]化归思想是一种解决问题的重要思想，在高中数学解题中的优势更为显著，不仅能引导学生解决各类数学问题，还能提升学生数学解题能力。在高中數学教学过程中，教师应该做好化归思想知识的讲解，为学生灌输化归思想常用的方法，使学生了解化归方法的具体应用过程，掌握应用规律，总结在解题中的应用技巧，从而，不断提高化归思想应用水平，快速找到解题突破口，促进高中数学解题能力的进一步提升。

[关键词]高中数学;化归思想;解题过程;应用

所谓化归思想是指将陌生、不易处理的问题，采用相关转化方法，转化为熟悉、易处理的问题。所以，采用合理方法进行转化是化归思想的精髓，亦是化归思想教学的重中之重。高中数学涉及的知识点较多，题型复杂多变，掌握化归思想可使学生迅速找到解题突破口，实现快速、高效解题，因此，教学中数学基础知识和化归思想均应纳入教学的重要内容，并积极实践。

一、化归思想之换元法的应用

换元法是化归思想中的一种常见方法，学生在初中阶段已有所了解，因此，对换元法并不陌生。不同的是，高中阶段的换元法更为灵活，而且解题步骤更为复杂，因此，在教学中，一方面，教师要为学生深入讲解换元法，使学生牢固掌握换元法的技巧与方法，让学生认识到换元并不是随便的换，换元后应能简化原有式子，使解题时更加容易找到解题思路。同时，还应注意换元前后变量取值范围的一致性。另一方面，教师要结合具体教学内容，围绕具体例题，为学生讲解换元法的具体应用，使学生深刻体会换元过程，认识到换元法在解题中的妙用，启发学生更好地解题。

例1，已知函数f（x）=xlnx- x2-x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点。设两个极值点分别为x1、x2，且满足x10，若不等式 e1+λ

分析：该题目立足函数，考查了极值点、导数、恒成立等知识点，技巧性强，难度较大。解题的关键在于理解题意，而后对已知条件进行转化，根据转化后的结果，采用换元法解题。讲解中为使学生能够迅速找到解题思路，增强解题的自信心，教师应及时做好解题引导。

教师引导学生认真分析题干中给出的不等式，可考虑采用两边取对数的方法进行转化，即，由 e1+λ

由极值点和函数导数之间的关系可得x1、x2应分别为f′（x）=lnx-ax=0的两个根。将其分别代入可得lnx1=ax1，lnx2=ax2……（1）。

则1+λ

∵λ>0且0

同时，还应通过将（1）中的两个等式作差，得到ln=a（x1-x2），则a=

则原式等价为：>，∵0

令t=，t∈（0，1），则不等式lnt< 在t∈（0，1）上恒成立。

令h（t）=lnt-，求导得： h'（x）=

当λ2∈ [1，+∞）时，00，表明函数h（x）为单调递增函数，而当t=1时，h（1）=0，可知h（t）恒小于0。

当λ2<1时，可知在t∈（0， λ2）上 h'（x）>0，在t∈（ λ2，1）时h' （x）<0，即，当其最大值为h（1）=0，表明在t∈（0，1）上h（t）小于0不恒成立，舍去。

由此可见，要想满足题设要求，只需 λ2≥1，而 λ>0，即， λ≥1。

二、化归思想之构造法的应用

构造法指根据题干条件或进行推导，将数学问题转化为一个适当的数学模型，进而实现求解的目的。构造法对学生的数学能力要求较高，教学中为使学生掌握这一重要的转化方法，一方面，教师要结合教学内容为学生讲解常见的构造方法，包括构造函数、构造数列、构造向量等。同时，为树立学生学习的自信，可先创设简单的问题，传授各种构造技巧，夯实学生基础知识，提高运用构造法转化为数学问题的意识。另一方面，教师要优选经典例题，板书具体解题过程，鼓励学生积极思考每一步的推导过程，以及推导过程中应注意的问题，切实掌握构造法精髓，使学生在解题中可以灵活应用。

例2，已知a，b，c∈R+，abc=1，证明：a2+b2+c2+3≥2ab+2ac+2bc

分析：该题目为证明不等式类型的题目，题干较为简单，但是很多学生不知如何下手，因此，在教学中，教师应引导学生通过转化，构造出二次函数进行证明。

要证a2+b2+c2+3≥2ab+2ac+2bc，即证：（a+b）2+c2+3≥4ab+2c（a+b）

∵abc=1，即，原不等式转化为（a+b）2-2c（a+b）+c2+3-≥0

当3-≥0，即，c≥ 时，显然不等式成立。

当3-<0，即，c<时，设x=a+b，由已知条件以及基本不等式知识可得a+b≥2=，即x=a+b∈[，+∞），对不等式（a+b）2-2c（a+b）+c2+3-≥0

认真观察不等式的形式，可通过二次函数f（x）=x2-2cx+c2+3-进行证明。

要证明0

∴f（x）的对称轴x=c在[，+∞）的左侧，且f（x）的图像开口向上，即，在[，+∞）上f（x）单调递增。

又∵f（）= -4+c2+3- =c2-4 +3≥2c-4 +2=2（ -1）2≥0

∴当x∈ [，+∞）时恒有f（x）≥0，即当0

三、化归思想之坐标法的应用

坐标法是一种基于坐标系将几何问题转化为代数问题，通过数学计算，实现解题的一种化归思想。应用坐标法解答数学问题时应注重构建合理的坐标系，准确找到各点的坐标，而后进行计算。为使学生灵活地运用坐标法这一重要的化归思想，一方面，教师在教学中为学生讲解坐标法知识，注重培养学生的空间想象能力，如通过联系生活中的事物，增强学生的空间立体感，从而能够在空间直角坐标系中准确找到各点坐标。另一方面，为使学生掌握坐标法，教师在教学中应注重对学生进行训练，即选择优秀试题，对学生进行专题训练，不断提高学生的坐标法应用水平与运算能力。

例3，如图一所示，一以ABCD为底面的四棱锥P-ABCD，已知底面为菱形，边长为2。三角形PAB为等边三角形，∠ABC=60°，且面PAB⊥面ABCD。E为AB的中点，在线段PD上有一点M。问：是否存在能够使得二面角M-EC-D的大小为60°的点M？

分析：该题目为立体几何题目，采用传统方法虽然能够得出结果，但难度较大，学生应采用坐标法，通过假设M点的坐标，找到其与PD间的关系，便可得出是否存在点M。根据题意构建空间直角坐标系时，应以E为原点，以EB、EC、EP分别为x，y，z轴，构建空间直角坐标系E-xyz，根据题意，不难得出以下各点的坐标。

E（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0， ），C（0， ，0），D（-2， ，0）

假设PD上存在一点M（x，y，z）， =λ （0≤λ≤1）

则（x，y，z- ）= λ（-2，，- ），即，M（-2λ， λ， （1-λ））

=（-2λ， λ， （1-λ））， =（0，，0）

可设平面CEM的法向量为n（x，y，z），根据法向量知识可得：

n·  =-2λx+ λy+ （1-λ）z=0，n· = y=0，解得y=0，2λx= （1-λ）z

令z=2 ，则x= （1-λ），得n=（（1-λ），0，2λ）

∵PE和平面ABCD相垂直，可求出平面ABCD的法向量为m=（0，0，1）

cos= =2 λ/=2 λ/

∵二面角M-EC-D的大小为60°

则2 λ/=1/2，即，3λ2+2λ-1=0，解得λ= 或 =λ-1（舍去）

综上，存在满足题意要求的M点，即PM/PD=时，题设成立。

四、化归思想之直接转化法的应用

直接转化法相对来说较为简单，教学中为使学生掌握这一重要方法，一方面，由于直接转化法基于数学基础知识，因此，在教学中做好数学基础知识讲解尤为重要。教学中，教师可以灵活运用多种教学手段，如运用多媒体技术为学生深入讲解数学概念，尤其引导学生自己推导相关的数学定理，感受数学定理的推导过程，加深学生印象的同时，使学生更好地了解数学结论的来龙去脉，有助于其更好地应用。另一方面，与其他转化方法相比直接转化法虽然难度不大，但要想牢固掌握并非易事，教师在教学中仍需依托具体例题进行讲解，使学生更好地掌握应用直接转化法应注意的问题及相关的应用技巧。

例4，已知函数f（x）= x3+（-）x2+（- a）x（0f（x3）恒成立，求实数a的取值范围。

分析：该题目为三次函数类型的试题，在高中数学中较为常见，解题时需要应用导数知识，确定函数的最值进行求解。同时，该题目给出f（x1）+f（x2）>f（x3）恒成立这一条件，深入理解这一条件是解题的关键，解题时需要根据f（x1）+f（x2）>f（x3）恒成立找到潜在的隐含关系，通过分类讨论找到最大值与最小值之间的关系，最终求解出a的取值范围。

∵f（x）= x3+（-）x2+（- a）x（0

∴ f'（x）=x2+（a-）x+（- a）=（x-）（x+a-2），令f'（x）=0解得x1=，x2=2-a

∵00得到x<或x>2-a，令f'（x）<0，得

即，f（x）在[1，2]上的最小值为f（2-a）=（2-a）2，最大值为max{f（1），f（2）}=max{-， a}

∵0-

在解题过程中，巧妙转化题设条件是关键，即，根据对于任意的三个实数x1，x2，x3∈[1，2]都有f（x1）+f（x2）>f（x3）恒成立，应能推导出2f（x）min>f（x）max

显然，当a∈（0， ]，可得2×（2-a）2>-，求解得出1- a，可求解出a的取值范围为：

综上可知，a的取值范围为1-

五、化归思想之数形结合法的应用

数形结合是化归思想中应用率较高的方法，可明显提高解题效率。在教学中，为使学生熟练应用数形结合法进行巧妙解题，一方面，教师应引导学生自主地学习数形结合知识，并在解题中尝试着加以应用，如要求学生回归教材掌握教材中常见函数的图像、总结函数图像绘制技巧等，为数形结合法的灵活应用奠定基础。另一方面，数形结合法试题类型多种多样，教学中应为学生讲解代表性例题，使学生掌握数形结合法解题的思路，灵活处理常规以及抽象函数图像，从而顺利解题。

例5，已知函数f（x）=，关于x的方程f2（x）-2af（x）+a-1=0（a∈R）有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）

A、（ ，+∞）    B、（-∞， ）     C、（0，）     D、{}

分析：该题目是抽象函数与复合函数相综合的题目，较为抽象，难度较大。很多学生面对该题目不知如何下手，很难得出正确结果。事实上，针对抽象复杂的函数，可运用导数知识研究其单调性，大致画出其图像，借助图像讨论其根的情况，从而得出参数的取值范围。

∵f（x）= ，x的正负未知，因此，需要进行分类讨论。

当x>0时，f（x）= ， f'（x）==。当01时 f'（x）>0，当x=1时，满足f（1）min=e。

当x<0时，f（x）=-，则 f'（x）=-=，f'（x）>0恒成立，函数f（x）单调递增。为求a的取值范围可大致作出f（x）的圖像，如图二所示：

可知当t∈（e，+∞），t=e，t∈（0，e）以及（-∞，0]对应的t=f（x）根的个数分别为3个，2个，1个，0个。

题设中的问题，等价于t2-2at+a-1=0（m∈R）有2个不同的实数根，当t=e时，e2-2ae+a-1=0，解得a=，正确答案为D。

为使学生切实掌握化归思想，教学中应做好教学经验总结，注重化归思想的应用研究。本文通过研究得出以下结论：

1.高中数学教学中，不仅要为学生讲解高中数学基础知识，使学生掌握基本知识以及解题的基本能力，而且要为学生系统讲解化归方法以及化归时应遵守的原则，把握化归思想应用重点。

2.为学生讲解化归的具体实现方法，尤其为使学生熟练掌握各种化归方法，应结合例题讲解，使学生掌握相关化归方法的具体应用。同时，鼓励学生充分利用课下时间进行及时巩固训练，在训练中掌握不同数学试题的解题规律以及化归技巧，进一步提高学生的数学解题能力。

参考文献：

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[4]王翰文.基于“转化与化归”思想的高中数学解题研究[J].华夏教师，2018，（23）.

[5]王晓宇.紧扣“化归思想”，优化高中数学教学[J].数学教学通讯，2018，（12）.

（责任编辑 陈始雨）