双井抽灌处理地下水污染的回收率理论公式

张 帅，王旭升，姜永海，杨 昱

（1.中国地质大学（北京），水资源与环境工程北京市重点实验室，北京 100083；2.中国环境科学研究院，国家环境保护地下水污染模拟与控制重点实验室，北京 100012）

1 研究背景

采用井孔进行地下水污染原位修复的方法有抽出处理法［1-2］、曝气法［3］和循环井法［4］等。其中，抽出处理法是常用的地下水原位修复技术，即通过抽水井将地下水取出，在地表进行修复处理，然后通过回灌井回灌到含水层，实现场地尺度地下水的人工循环和净化。利用这种方法进行地下水污染的修复，必须使抽水井和回灌井具有足够的回收率，即回灌水体能够在一定程度上重新通过抽水井取出，进行再次净化，以达到充分修复的目标。关于抽灌井系统的水流状态和回收率问题，现有研究［5-6］的实用化程度还不高。我国在引进抽出-处理技术方面尚处于起步阶段，主要借助于模拟技术实现抽水井（群）的水力截获来研究某些场地的井孔布设方案［2，7-9］，缺乏通用性的理论成果和公式。

我国在抽灌井系统方面已有的研究和应用多数在水源热泵系统设计领域［10-12］，水源热泵系统的设计要综合考虑地下水的水力特征和温度场特征，抽灌井系统的能耗大小决定了系统设计的优劣［12］；但在地下水污染修复领域，抽灌井系统的回收率决定了地下水污染的修复效率。

评价地下水抽灌井的回收率涉及流网、驻点等地下水动力学概念。作为抽出处理技术中最简单、最基础的工艺单元，双井抽灌系统由同一含水层中的一抽一灌两口井构成，其动力学行为已有很多研究［5，13-15］。能够得到理论公式的解析解，分为两种情况：无地下水侧向径流的情况下，抽灌井之间能够形成充分循环的流场，稳定回收率达到100%［13］；存在地下水侧向径流的情况下，抽灌井之间形成有限循环的稳定流场，回收率不一定能达到100%［15］。后一种情况在野外实际中更加普遍。

本文针对“一抽一灌”双井系统，建立考虑地下水侧向径流、抽灌井流量相等的理论概念模型，获得流场的解析解。根据地下水流网的驻点及其连接的流线，将地下水流场划分为内循环区、外循环区和非循环区。在此基础上，得到内循环区稳定回收率的理论公式。该公式可用于地下水污染抽出处理工程的设计。

2 理论模型与流场划分

“一抽一灌”双井处理系统的概念模型如图1（a）所示。取平面坐标（x，y）表示场地含水层的延展空间，回灌井W1位于（d，0）处，抽水井W2位于（-d，0）处，两者之间距离为2 d，两井流量大小相等为Qw。场地存在不被抽灌井影响的均匀的地下水侧向径流，其流动方向与x轴的夹角为α，具有恒定的单宽流量q。在天然状态下，侧向径流在任一点Z（x，y）处形成地下水的水头和水力梯度。在抽灌井的扰动下，Z（x，y）处的水头发生下降或抬升，使单向均匀的流场变为不均匀流场。不管含水层是潜水含水层还是承压含水层，只要属于均质各向同性介质且隔水底板水平、无垂向补给或排泄，就可以用平面二维流的地下水动力学理论［13，16-18］得到扰动流场的解析解。本文只研究流场达到稳定状态的特性。

图1 抽灌井流场概念模型

在一定的条件下，抽灌井周围的稳定流场具有如图1（b）所示的平面特征。流场可划分为3个区域：（Ⅰ）内循环区，即抽出的地下水经过处理之后回灌到含水层，在含水层中向抽水井流动，再次被抽出得到循环处理，W2抽出的水中来自回灌地下水（Ⅰ）的侧向补给；（Ⅱ）外循环区，即被W1回灌到含水层的水释放到下游地区（Ⅱ1）不再被抽出，而W2抽取的地下水源自于上游地区（Ⅱ2）；（Ⅲ）非循环区，即地下水的流动仍然由侧向径流控制，既不被抽水井取出，又不来自回灌井。不同循环区的界线，是一些特殊的流线。这些流线与流场中的驻点S1和S2相连。在某些情况下，S1和S2被一根单独的流线连接，使内循环区处于消失的临界状态，如图1（c）所示。在另外一些情况下，只存在外循环区和非循环区，且外循环区的下游Ⅱ1和上游Ⅱ2完全被非循环区隔开（图1（d））。

当井孔的排列方向与侧向径流方向平行时，会产生一些特殊的流场状态，其流线呈现相对x轴和y轴都对称的分布格局。图2（a）中，侧向径流方向与x 轴相同，即α=180°，驻点S1和S2落在y轴上，使得内循环区、外循环区与非循环区均存在。如果这2个驻点重合并落在原点处，则内循环区处于消失的临界状态（图2（b））。驻点也可能再次分离但落在x轴上，如图2（c）所示，这时只有外循环区和非循环区存在。如果侧向径流方向与x轴相反，即α=0°，则只存在内循环区和非循环区（图2（d））。

图2 侧向径流沿x轴时的双井流场

3 稳定回收率的精确解

3.1 流网与驻点对于图1所示的理论模型，其地下水流网可用复势函数表示［13，15，18］：

其中：Qw为井流量（抽水井的抽水量与回灌井的回灌量相等）；φ为势函数；ψ为流函数；z=x+iy，是坐标的复数形式。根据抽灌井的位置，回灌井W1的复数坐标是z1=d，抽水井W2的复数坐标是z2=d。考虑到流场旋转180°后与原流场对称，地下水侧向径流方向角a的取值区间可限定为0°≤α≤180°。

采用笛卡尔坐标系，则上述势函数和流函数可以分别表示为：

为了得到更加通用的格式，本文引入如下的无量纲变量：

则无量纲化的势函数和流函数为：

注意本文中的arctan（y/x）函数的取值应考虑（x，y）的象限位置。例如x＜0、y＞0 时，该函数值应大于π/2，而不是小于零。

在驻点处，流速为零，即复势函数的导数为零。因此，驻点坐标是以下方程组的根：

取驻点S1和S2的无量纲化坐标分别为（x1，y1）与（x2，y2），则由式（7）可推导得到：

根据上述结果，当α=0°时，有：

而当α=180°时，若qD＞2，有：

若qD≤2，有：

3.2 回收率公式抽灌井稳定流场的回收率取决于内循环区的地下水流量。当内循环区不存在时，回收率为零，例如图1（c）（d）以及图2（b）（c）。当内循环区存在时，回收率受到外循环区的影响。如果像图2（d）那样存在内循环区，而不存在外循环区，则回收率可以达到100%。

可以利用流函数来定量分析内循环区的地下水流量。Ⅱ1区域或Ⅱ2区域的地下水径流量Qc，与经过驻点的流线所对应的流函数有关，可以表示为

如果Qc≥Qw，意味着抽水井上游的地下水径流足以供给抽水井，不存在内循环区；否则，需要通过内循环来满足抽水井的取水量。因此，可以定义以下指标来判断是否存在内循环区：

内循环区只有在γ ＜1的情况下才存在。

在稳态流场的内循环区，由回灌井直接流向抽水井的水量占抽水量的比例，可计算为：

这就是“一抽一灌”双井处理系统回收率的计算公式。

3.3 回收率曲线根据理论公式，抽灌井处理系统的回收率取决于2个因素：一个是地下水侧向径流的方向α；另一个是反映单宽侧向流量与抽灌井流量比例关系的参数qD。回收率随这2个因子的变化，可以绘制成如图3所示的曲线。

图3 回收率随地下水侧向径流方向变化的曲线

不同角度α和参数qD组合下的回收率可以由式（14）、式（15）计算得到并绘制于图3。计算结果表明回收率随地下水侧向径流方向角的变化曲线是非线性的。当存在地下水水平侧向径流而回灌井位于抽水井上游时（图2（d）），即α=0°，则回收率总是能够达到100%。随着侧向径流角度向抽水井的偏移，α值越来越大，而回收率也越来越小。回收率会收敛到一个有限值，但不一定为零。这取决于qD的数值。总体而言，qD越小，回收率越大。当qD≤1.1时，回收率随α值增大而单调减小，直至达到一个大于零的最小值。当1.1＜qD＜1.6时，回收率随α值增大先减小而增大，在某个α值区间处于大于零的最小值。当1.6≤qD≤1.8时，回收率随α值增大先减小而增大，在某个α值区间处于等于零的最小值。当qD＞1.8 时，回收率随α值增大而减小，α值超过某个临界值后回收率将保持为零。qD越大，即侧向径流越强的情况下，导致回收率为零的α值越小。

4 应用

4.1 场地回收率优化公式上述回收率公式和曲线可用于地下水污染修复场地抽出处理法的井孔设计。最优的回收率与地下水污染物去除目标有关。设抽水井上游地下水的污染物浓度为Cg，则进入到抽水井的污染物质量流量为CgQc。地下水经处理后残余污染物浓度为Cr，假设灌入地下之后在内循环区保持浓度不变，则回灌井输入到抽水井的污染物质量流量为Cr( )Qw-Qc。因此，抽出水的污染物混合浓度为

在上述稳定状态下，该系统的污染物去除率可定义为：

根据去除率和回收率可以联合估计地下水污染物的相对残余浓度：

其中ω2是地下水污染物的综合去除率。

为了保证地下水污染物浓度不超标，Cr应该取某个允许的目标浓度，从而确定地下水污染的目标去除率。满足目标去除率的抽灌井回收率反算得到：

当然，如果地面污水处理系统的去除率w1很高，使Cr直接满足水质标准，则可取回收率为零。地面污水处理系统的去除率w1越低，所需要的回收率越大。需要注意的是，本文给出的回收率公式，即式（15），其前提条件是在承压含水层中能够较快形成稳定流场。实际工程中，只有渗透性较强的含水层才能达到这一条件。低渗透介质可能需要很长的时间才能达到稳定状态，尚不能用本文提出的优化公式进行评价。

4.2 案例应用中国环境科学研究院在北京市顺义区修建了地下水污染原位修复试验场。该试验场处于潮白河冲积平原，浅层地下水埋深约9～12 m。试验研究的含水层由第四系沉积物构成，相对强透水层为细砂、粉细砂，相对弱透水层为粉质黏土。其中，深度约20 m处有一个厚度约7 m，渗透系数约4.3 m/d的粉细砂层，是适合开展地下水污染原位修复试验的承压含水层。该场地中试工程的抽水井与回灌井沿东西向布置，距离为6 m，如图4（a）所示。

对前期勘探形成的5个钻孔进行水位测量，发现地下水总体上自西北向东南方向流动，流向与回灌井-抽水井连线的夹角为64.7°（图4（a））。地下水的水力梯度约为1.22‰，根据Darcy定律和含水层厚度计算得到单宽流量约为q=0.037 m2/d。随着抽水流量Qw的增大，控制参数qD的数值将减小，从而使得回收率增大。利用回收率公式，绘制该场地回收率随Qw的变化曲线，如图4（b）所示。由于地下水侧向径流比较弱，回收率一般能达到80%以上。回收率越高，地下水污染物的相对残余浓度Cr/Cg越低，其变化曲线取决于地面污水处理系统的去除率ω1。图4（b）绘制了3条Cr/Cg变化曲线，分别对应ω1为30%、50%和70%的情况。如果地下水污染的目标去除率是95%，则Cr/Cg目标值为5%，在ω1=50%的情况下抽水流量需要达到约60 m3/d，而回收率接近95%。地面污水处理系统的去除率越高，所需要的抽水流量和回收率越低。

图4 北京顺义某地下水污染修复试验场抽灌井设计

针对回收率公式在上述案例中的适用性，下面进一步讨论几个相关的问题：

（1）回灌能力问题。本文公式的一个使用前提，是单个注水井足以把抽取的水量全部回灌到含水层。回灌会导致注水井的水位升高，只要不超出限定水位，回灌量就是可接受的。根据承压含水层稳定井流的降深叠加原理［11-12］，回灌井水位的最大理论增幅Δh可推测为

式中：T为承压含水层的导水系数；rw为回灌井的半径。在本案例中，有T=30.1 m2/d、d=3 m，回灌井滤管设计直径30 cm，因此rw=0.15 m。地下水埋深在回灌井处的初始值约为10 m，取最小控制埋深为3 m，则Δh的允许值是7 m，反算出最大回灌量是Qw=359 m3/d。现有污水处理系统的负荷低于该流量，因此单个注水井的回灌能力是足够的。当然，考虑到长期运行时滤管必将发生一定程度的堵塞，工程设计中需要为回灌能力留下一定的余量。

（2）非稳定流问题。本文公式只适用于稳定流，如果从系统运行到达到稳定渗流状态的时间很长，上述回收率的设计就会缺乏实际意义。为此，需要对达到稳定态的时间进行评估。在系统运行时，抽水井的水位变化是最强烈的，可根据承压含水层非稳定井流理论对Theis公式进行叠加得到其理论降深随时间t的变化，即

式中：S为含水层的贮水系数；W（）为Theis井函数［11-12］。当系统运行一段时间后，sw随时间的增加速率会很小。如果取降深速率小于0.1 mm/d作为近似达到稳定态的判断准则，则可以由式（21）反算出达到稳定所需要的时间。第四系承压含水层的贮水系数经验值为0.000 01～0.001。S值越大，降深发展越慢，可取S=0.001 评估达到稳态需要的最长时间。按照最大允许回灌量，值Qw=359 m3/d 代入式（21），确定当t＞1.7 d 时，Sw随时间的增加速率小于0.1 mm/d。对于运行期达数月或数年的修复场地，这个时间足够短，适合采用本文公式进行最大回收率的评估。

（3）抽水和回灌工程会扰动地下水的流场，是否可能增加或减小区域尺度的侧向径流？这个问题涉及到区域地下水流的边界条件是否会明显受到影响。为此，可采用双井叠加的稳定流公式计算远处含水层的降深。如果取降深小于1 cm作为判定“无影响”的临界值，则计算得到Qw=359 m3/d时距离原点1200 m范围内的降深小于临界值。这个影响范围尚未达到区域地下水流的控制边界，也就是说满足“在抽灌期间地下水侧向径流保持均匀、大小恒定”的条件，不足以影响侧向径流。

（4）双井抽灌系统能够处理多大范围的地下水？这个问题反映的是如图1所示的外循环区所能达到的范围。外循环的延伸方向是由侧向径流的流向决定的，在垂直于侧向径流的方向上，外循环区能够达到的最大理论宽度可用Qc/q进行评估，其中Qc用式（13）计算。在本案例中，当Qw=359 m3/d时，计算出外循环区的最大宽度是206 m，实际能够处理地下水的范围与Qw成正比。

5 结论

在有地下水侧向径流的情况下，采用“一抽一灌”双井的抽出处理法进行地下水污染场地修复，其回收率不一定能够达到100%。本文基于均匀恒定侧向径流与均质各向同性含水层假设，采用平面二维流场的理论模型给出了稳定流状态回收率的精确解。回收率取决于地下水侧向径流的方向角α，以及由侧向径流单宽流量、抽灌井距离及井流量构成的比例因子qD。随着抽水流量的减小（增大qD）和侧向径流向抽水井的偏移（增大α），回收率呈减小趋势，并可能降低到零。回收率越大，地下水污染的去除率就越高。以地下水污染的去除率为目标，可以对抽灌井的回收率进行优化，从而为抽灌井的布设和流量管理提供依据。回收率理论公式提供了简便通用的抽灌双井系统设计方法。

本文提出的回收率公式计算的是流场与溶质运移达到稳定状态的回收率，仅适用于“一抽一灌”双井等流量处理的地下水污染场地，而且局限于均匀恒定侧向径流与均质各向同性含水层的情况。实际工程回收率的计算，还需要更深入的考虑垂向补给和排泄边界、非均质各向异性介质、抽注井堵塞等各种复杂因素与过程。另外，当地下水溶质运移没有达到稳定状态时，回收率还与运行时间有关，应采用运移时间的概念进行研究。