一道联考题解析结果的物理真实性的讨论

廉志斌

(山东省平邑县第一初级中学，山东 平邑 273399)

2020届湖北八校高三第一次联考题中的第21题,是一道构思精巧的创新试题,能很好地考查学生的作图、分析、推理等多种能力．但是,命题者给出的解析及参考答案值得商榷．本文对命题者给出的解析结果的物理真实性做定量讨论,指出了存在的错误,并给出一种简洁的求解方法.

1 题目及原题解析

图1 题目示意图

例题.如图1所示,半径为R的圆是圆柱形区域的横截面,c为圆心,∠acb=60°,在圆上a点有一粒子源能以相同的速率向圆面内各个方向发射质量为m、电荷量为q的带正电粒子,柱形区域内存在平行于圆面的匀强电场,粒子从电场射出的最大动能是初动能的4倍,经过b的粒子在b点的动能是初动能的3倍,已知初动能为Ek,不计粒子重力及粒子间的相互作用,下列选项可能正确的有

(C) 电场强度方向从a到b.

(D) 电场强度方向从a到c.

图2 解析示意图

原解析:设电场方向与ab线的夹角为θ,离开电场时动能最大的粒子的射出点和c点的连线一定和电场方向平行,如图2所示.

在粒子从a运动到b的过程中由动能定理有

qERcosθ=2Ek.

对离开电场时动能最大的粒子在电场中由动能定理有

由以上两式解得

上述命题者给出的解析,貌似逻辑严密,无懈可击．但是,物理问题的数学解析结果,有时会出现增根,只有对解析结果的物理真实性作进一步讨论,才能确定解析结果的物理真实性和正确性.

2 对原解析的两种结果的物理真实性的讨论

(1) 求解从b点出射的粒子的初速度方向.

图3 电场方向与ab同向时

初速度方向沿ab方向,并做匀加速直线运动到达b,很显然符合题目情景.

(2) 求解以最大动能出射的粒子的初速度方向.

以最大动能出射的粒子,一定在过圆心c点的电场线与圆的交点P点出射,如图3所示．以a点为坐标原点,电场线方向为y轴,设粒子的初速度方向与x轴的夹角为α．在x方向有

vcosα·t=Rsin60°.

(1)

在y方向有

(2)

(3)

解得

(4)

由上述分析可见,(A)、(C)选项的物理真实性和正确性毋庸置疑.

图4 从b点出射的粒子的分析

(1) 求解从b点出射的粒子的初速度方向.

以a点为坐标原点,电场线方向为y轴,设从b点出射的粒子的初速度方向与x轴的夹角为α,如图4所示．在x方向上有

vcosα·t=Rsinθ.

(5)

在y方向有

(6)

(7)

显然(7)式中Δ<0,所以tanα无解,说明此条件下粒子不会从b点出射．即(B)选项错误.

(2) 求解以最大动能出射的粒子的初速度方向.

以最大动能出射的粒子,一定在过圆心c点的电场线与圆的交点P点出射,如图5所示．设其初速度方向与x轴的夹角为α．在x方向有

vcosα·t=Rcos(θ-30°).

(8)

在y方向有

(9)

由(8)、(9)式并化简得

(10)

(10)式中,由于Δ<0,所以tanα也无解,说明此条件下粒子不会从P点出射．即(B)选项错误.

图5 以最大动能出射的粒子的分析

下面笔者给出一种简洁的分析方法,供参考.

3 作图找等势线分析法

图6 作图寻找等势点分析

根据题意,粒子从a运动到b的过程中电场力做的功与粒子从a到运动到P(粒子以最大的能从电场出射的位置)的过程中电场力的功之比是2∶3,因此在ab延长线上找ad=1.5R的点d,过d点做圆的切线,切点P就是与d点等势的点,dP线就是等势线,由电场线和等势面的关系知cP方向就是电场方向,如图6所示.

显然,作图找等势线分析法,既简洁又准确,不会出现增根.