浅谈最值问题的解决方法

李晨

[摘  要] 最值问题是对以求取目标函数最值为目的的一类数学问题的总称，题目形式灵活多变，且涉及的知识种类很多，能综合考查学生对于函数知识的掌握程度，也能考查学生推理、转换、归纳等综合数学能力，一直以来都是高考以及各级模拟考试的热点题型. 由于最值问题的灵活性与综合性，很多学生对于最值问题颇有种无从下手的感觉.文章以高考和模拟考试中比较有代表性的最值问题为例，探索其本质和较为一般的解决方法.

[关键词] 最值问题;压轴题;不等式基本性质;分离变量;结构特点

最值问题是对以求取目标函数最值为目的的一类数学问题的总称，题目形式灵活多变，且涉及的知识种类很多，可以建立在三角函数、二次函数、对数函数、数列、向量，乃至解析几何等各种知识背景上，能综合考查学生对于函数知识的掌握程度，也能考查学生推理、转换、归纳等综合数学能力，一直以来都是高考以及各级模拟考试的热点题型，也常常出现在压轴题中. 而由于最值问题的灵活性与综合性，很多学生对于最值问题颇有种无从下手的感觉，常常苦恼于找不到问题的切入点和转化思路. 本文将以高考和模拟考试中比较有代表性的最值问题为例，探索其本质和较为一般的解决方法，各位读者可以适当参考以开展教学.

立足不等式基本性质求解最值

最值问题常常与不等式紧密结合，因此巧用不等式本身固有的基本性质可以帮助我们转化问题，基本不等式、不等式的传递性等都是解题的利器，下面笔者给出一道例题以具体说明该方法.

巧妙转化函数结构中蕴藏的玄机

题中给出的条件或者目标函数有时具有独特的结构，这些结构信息可以成为我们转化问题的隐含条件，从中我们可以挖掘出几何意义，也可以借此构造新的研究函数.

问题点评：本题的难点在于参数过多，处理起来复杂度较高，因此解决问题的关键在于根据结构特点减少变量个数，其中本题的关键在于转化4a2-2ab+4b2-c=0这一条件. 笔者在这里给出了三种方法：注意到题目条件的形式是二次等式，第一种方法利用了二次方程有解的条件;第二种方法立足柯西不等式的取等号条件;题设条件还可以转化出平方式相加的形式，因此第三种方法从三角换元的角度减少了变量. 题设条件和目标函数本身具有的结构特征很多時候能起到一定的提示作用，巧妙利用转化结构特点，综合运用消元减元技巧，往往是解决此类问题的关键所在.

分离多元变量简化最值问题

教学例题4：已知同一平面中的三个不同的单位向量a，b，c满足等式关系a+b+c=0，则对于0≤x≤≤y≤1，试求

问题点评：本题中存在两个没有明显等量关系的变量x，y，在转化条件时我们可以采用分离变量的方法，先处理x再处理y.