例谈引导学生体悟数学文化的途径

蒋同山

摘要：数学文化具有丰富的内涵。这些内涵需要通过各种数学活动中多方面、多层次的体验和领悟，才能心领神会，这是一个润物无声的长期熏陶过程。以对数概念的教学为例，说明在数学概念的学习中，可以通过数学实验促进数学文化的体悟;以线面平行判定定理与性质定理的教学为例，说明在数学原理的学习中，可以运用直觉思维帮助数学文化的体悟;以“公比为2的等比数列的前n项和”的拓展运用为例，说明在数学问题的解决中，可以借助经典问题驱动数学文化的体悟。

关键词：数学文化体悟数学实验直觉思维经典问题

很多学生进入高中后，会感觉到数学内容多、概念太抽象、规律难把握，还会发现以前很有效的技能训练也不那么有用了，而强化训练又减少了思考、自悟的时间，以致数学理解浅薄，数学解题困难，进而导致数学学习的兴趣严重欠缺。

《普通高中数学课程标准（2017年版）》在“教学建议”中提出：“数学文化应融入数学教学活动。……有利于激发学生的数学学习兴趣，有利于学生进一步理解数学，有利于开拓学生视野、提升数学学科核心素养。”笔者与“数学文化融入数学教学的高效课堂研究”课题组一道，对此开展了探索：在高中数学课堂上，努力创设数学文化的情境，引导学生深入体验数学文化的探究，领悟数学文化的内涵，感受数学文化的魅力，从而让学生更亲近数学、欣赏数学、理解数学、掌握数学。

一、数学文化的内涵及其体悟

张奠宙教授指出：“数学是人们观察世界的一种立场、观点和方法，具有很强的人文特征。在形式化了的数学的背后，有生动活泼的思维过程、朴素无华的思想方法，乃至引人深思的人生故事。”他还强调：“数学教学‘既要讲推理，更要讲道理。这些道理中包括数学文化底蕴。”

数学文化具有丰富的内涵。这些内涵不能只通过理性思维、实践行为去理解，还需要在各种数学活动中通过多方面、多层次的体验和领悟，才能心领神会，这是一个润物无声的长期熏陶过程。

从数学文化的不同层面来看，深层次的数学文化更需要体悟。“数学文化是指人类在数学行为活动的过程中所创造的物质产品和精神产品。物质产品是指数学命题、数学方法、数学问题和数学语言等知识性成分;精神产品是指数学思想、数学意识、数学精神和数学美等观念性成分。”作为物质产品的知识性成分更多地位于数学文化的表层，辨识性、规则性、机械性强，较易习得和按程序进行操作，体现为概念、原理、题型、解法的识记、训练;作为精神产品的观念性成分则是一种“默会知识”，位于數学文化的深层、人类灵魂的深处，更多地体现为对知识探求的启发性、思维方法的宏观引领性，不宜简单模仿、直接取用、机械训练，需要在实践中体验，在思索中领悟。

正如郑毓信教授所指出的，“我们不应将‘数学简单地等同于各种‘知识成分，特别是各种具体知识和技能的总和，而还应当看到相应的‘观念成分（或者说，数学传统）在实际数学活动中的重要作用，特别是，正是后者为具体的数学研究提供了必要的规范，包括重要的启发性成分等”，而“在现实中，观念的形成主要表现为一种不自觉的行为，即是一个潜移默化的过程”。

从数学文化的涵盖范围来说，广义的数学文化中，需要体悟的内涵更多。顾沛教授认为：“数学文化一词的内涵，简单说，数学文化是指数学的思想、精神、方法、观点以及它们的形成和发展;广泛些说，除上述内涵以外，还包含数学家、数学史、数学美、数学教育和数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系等。”其中，数学家追求真、善、美的热情和精神，坚持上下求索、突破认知极限、勇于探索创新的意志品格，数学共同体形成的共有价值观、思维方式、审美趣味，对数学、数学家的重视与尊重及由此形成的良好社会风尚，数学文化与其他文化的相互影响等，都只能在长期形成的文化传统中去传承、发扬，在丰富多彩的数学活动中去体悟、践行。

二、在数学活动中体悟数学文化

数学课堂上，学生的数学活动可以大致分为三类：数学概念的学习、数学原理的学习和数学问题的解决。下面分别针对这三类数学活动的特点，寻求引导学生深入体悟数学文化的有效途径。

（一）数学概念的学习：通过数学实验促进体悟

概念是思维的细胞，数学思维的方式方法是数学文化中重要的观念性成分。数学概念的学习和理解，是体悟数学文化的重要途径。学习数学概念的过程不是将它当作数学文化的知识性成分简单地记忆、运用，而是对一类具体事物的本质属性进行抽象概括的过程。过早地引入抽象化、形式化的概念，过多机械化的解题训练，会导致学生只能接触到概念的文字符号，止步于数学文化的浅表知识层面。因此，教学数学基本概念，可以化抽象为具体，引用数学文化中鲜活的材料，设计、开展数学实验，利用奇妙有趣的数学现象，吸引学生观察、思考，从而既激发学生的学习兴趣，又帮助学生积累感性经验，从具体到抽象，促进其更好地体悟数学概念的由来、本质和价值。

【案例1】对数概念的教学

我们先来看2010年高考数学江苏卷的一道题：

设实数x、y满足3≤xy2≤8，4≤x2y≤9，则x3y4的最大值是。

本题有多种解法。笔者看到题目，即刻想到取对数，化乘除为加减，将问题转化为线性规划问题。但是，笔者后来问了几个成绩不错的学生，他们竟然都想不到这种方法;甚至提醒了“什么运算可以‘化乘除为加减”后，他们还是想不到对数。

有关对数的题目做了无数，但学生真的理解对数的概念吗？了解对数的文化价值吗？

对数是中小学数学运算中最高级的运算，在高中数学中相当重要。但对数的概念及其运算法则较为抽象难懂。教材一般从指数与对数的互逆关系直接引入，因此，学生并不理解对数概念学习的迫切性和重要性。对于对数的运算法则，教材一般也只是设幂的代换，做形式化推演。比如：令s=logaM，t=logaN，则M=as，N=at，于是MN=as·at=as+t，根据对数的定义，有loga（MN）=s+t，即loga（MN）=logaM+logaN。对这样“变魔术般”的符号推演，绝大多数学生不知其所以然，体会不到对数化繁为简的强大力量，也不了解历史上对数在科技应用、文明进步中的巨大价值，因而，对对数的学习积极性不高，对对数的理解和掌握也处于套公式运算的知识运用浅层。

针对这一现象，笔者尝试引入有关对数历史的具体材料，激发学生学习对数的兴趣，引导学生体悟对数的由来、本质和价值。教学设计如下：

1.模拟历史过程，体验认知困境。

任务1：我们已经学了指数、指数函数，后续学习中指数运算，尤其是底数为2的指数运算的作用很大，所以要尽可能地熟练。请同学们快速地计算以下结果（能心算更好）：4×8，16×32，64×256，512×1024，…。

点评：随着数据变大，大家是不是感觉很耗时间？在数学发展史上，也曾经有过这么一段时间，运算很耗时，甚至“耗人”。这不是危言耸听：哥白尼的“太阳中心说”流行时，天文爱好者很多，很多天文现象需要准确计算才能观测到，但是，当时数学的发展还局限在常量数学的阶段，计算多位数乘积十分麻烦，繁杂的“天文数字”的运算极其消耗时间，甚至要花费天文学家毕生的精力。

引导：怎样简化运算，以“延长”天文学家的寿命呢？同为天文爱好者的纳皮尔为了简化大数字的计算，潜心研究了很多年，终于独立发明了对数。当然，纳皮尔的对数在形式上与现代对数理论并不完全一致，因为当时指数概念尚未形成。

2.借助运算实验，领悟对数真义。

任务2：纳皮尔的方法是利用表1所示的两行数。你知道如何利用它们简化运算，快速计算上面的算式吗？

推广：如表2所示，从第一行到第二行是指数函数关系，而从第二行到第一行就是对数函数关系。令M=as，N=at，定义logaM=s，logaN=t。第二行两数的乘法对应第一行相应两数的加法。于是，MN对应s+t，即loga（MN）=s+t，即loga（MN）=logaM+logaN。

这里，以对数故事为数学文化背景，设计与历史上对数概念产生过程相似的模拟运算实验，在学生遇到认知困境时，促进学生体悟对数如何简化运算，从而激发学生的学习兴趣，让学生具体地体会到历史上对数在天文等领域的巨大应用价值，感受到对数对人类文明进步的贡献，同时，感悟对应、化繁为简等数学思想。

（二）数学原理的学习：运用直觉思维帮助体悟

数学文化观念的核心是理性精神、理性思维，但仅靠理性精神、理性思维，难以获得真知或正确命题。直觉思维虽然不确定性强，但对于数学探索必不可少，甚至可以说是理性思维的先导。《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：“重要的数学结论往往都是‘看出来的，会‘看需要直观想象素养。”法国著名数学家庞加莱对直觉与逻辑的关系，有不少精辟的论述。例如：“仅仅从证明过程中的每一步演绎，并不能抓住证明的意义。”“逻辑用于证明，直觉用于发明。”“关于数学证明，它似乎只能使理智感兴趣，当我们看到它也乞于情感时，可能会感到奇怪。这也许是忘记了数学的美感，数和形的和谐感，几何学的雅致感。”我国著名数学家徐利治认为，直觉上懂了，才是真懂，而“数学直觉是‘悟出来的”。这里所指的“数学直觉”，不仅包含常见的直观想象，而且包含辨识直觉、关联直觉和审美直觉等方面。其中，辨识直觉可以帮助我们识别哪种研究思路更有价值、更为可靠，也就是解决“真”和“善”的判断问题;关联直觉涉及一定的思想跨度、知识和思维的整体性;审美直觉关系到对数学美的体验、判断。这些，都与数学文化的核心观念、价值紧密联系在一起。

从广义上看，数学公理、性质、定理、公式、法则等都属于数学原理一类，它们既是数学知识、数学思维的基础，也蕴含着丰富的数学文化观念。学习这些数学原理，不能只是将其当作现成的结论使用，而必须经历探索、猜想、验证和论证、确认的过程。其中，探索、猜想阶段往往需要借助直觉思维，达到“看出来”的理解和直接性的洞察。教学重要的数学原理，应该带领学生探究所学的原理，让学生在体悟严谨的结构美的同时，直觉地思考并深刻地领会数学原理，体悟其背后生动活泼的思维、探求真理的精神，从而以数学文化的魅力，激发学生的学习兴趣，促进学生的数学理解。

【案例2】线面平行判定定理与性质定理的教学

学习立体几何定理的证明，有助于学生训练直观想象能力、了解公理化思想，也是体悟数学文化核心——理性精神的极好途径。但远离直观的一味演绎、形式化推理对初学者来说极为困难。

在苏教版高中数学教材中，直线与平面平行的判定定理、性质定理位于平面的基本性质（几条公理）之后，线面垂直和面面位置关系之前，在“点、线、面的位置关系”中起着承上启下的作用。自此，学生将真正从平面进入空间去思考，同时也为后续面面平行的学习打下堅实的基础。所以，教学这一内容时，让学生深刻体悟原理严谨的结构美并有效激发学习兴趣，至关重要。对此，笔者的教学过程如下：

1.问题引领思考，化归助推新知。

师 怎样判定直线与平面平行？

生 0个公共点。

师 先考虑定义，很好！如果不知道或不易确定公共点个数呢？除了定义，还有什么方法？

生 用线线平行，如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

师 很好，碰到新问题先联系此前学过的知识！直线与平面平行的判定定理为什么首先要求是平面外一条直线？

生（笑）不然直线就在平面内了。

2.外显定理结构，激活直观想象。

师我还想问一句：平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，就可以保证直线和平面没有交点了吗？线线平行可以保证两条直线没有公共点，能保证直线和平面也没有公共点吗？

（学生思考、讨论。）

生 将直线b在平面α内前后平移，由公理4可知b始终与直线a平行，因此，a 始终与α没有交点。

师 很有想象力！但这样只靠直觉，严谨吗？（等待）要不反过来想：假设a与α有交点，会不会产生矛盾？也就是考虑反证法。（等待）我们先看交点在哪儿。（出示图1，故意将a画弯曲，要与α相交）想象一下，交点可能在哪儿？

生 可能在直线b上。

师如果是这样，就会得出a和b有公共点，也就是它们相交，这就导致矛盾。不过，a与α的交点一定在直线b上吗？为什么不会跑偏？（等待）我们来想象一下，如果直线a换个方向，a与α的交点在哪儿？

生 那么与它平行的直线b也得换个方向，看样子a与α的交点还应该在直线b上。

师 确定吗？为什么？（等待）虽然难以确定，但刚才我们通过想象，从直觉上感到a与α的交点应该在直线b上。老师想到一个比喻：飞机降落时，方向对准跑道，刚开始可认为飞机航线与地面上的跑道平行，后来机头偏下准备降落，航线将与地面相交。想象一下：这交点在哪儿？

生 在跑道上。

师 如果航线与跑道越来越接近平行，可以想象航线与地面的交点也会在越来越远的地方，在跑道的延长线上很远处。

生 但现在是假定直线a与平面α内的直线b平行啊！

师 看来在空间中严格论证一个结论并不容易，最好将飘浮在空中的直线a放在一个平面内，将空间问题借助某个确定的平面β来思考。放在哪个平面内呢？

生 随便哪一个，过直线a就行。

师 那就用过平行直线a、b的平面β。（出示图2，画好过直线a、b的平面后，再次将a 画弯曲，要与α相交）现在a与α的交点只能在哪儿？

生 根据公理2，两个平面α、β的交点只能在它们的交线b上，所以a与α的交点只能在直线b上，这样a、b相交，与原来的平行矛盾。

3.统一原理结构，感悟数学之美。

师 如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线是否与这个平面内的任意一条直线都平行？

生 平行。

生 不一定，还可以是异面。

师 平行、异面中我们主要关心平行。如何比较简洁地在平面内找到与平面外的一条直线平行的直线？

生 直接作。

师 直接作一条，就可以保证平行？万一有误差怎么办？

生 可以将平面外的一条直线平移过来。

生 过平面外的一条直线作一个平面与原来的平面相交，交线就是要找的直线。

师 将平移的过程想象成一个斜坡，也就是一个平面，将飘浮在空中的直线沿着这个斜坡、顺着这个平面移下来，就可以简洁明了地在平面内找到与平面外的一条直线平行的直线，也就是面与面的交线。这就是直线与平面平行的性质定理。关键是必须用过平面外的一条直线的平面得到面与面的交线，也就是将空间问题平面化。（稍停）再比较一下直线和平面平行的判定定理与性质定理，发现它们其实是线线平行与线面平行的相互推导，注意判定定理与性质定理的图形实质是一个图，将空间问题平面化的转化方法也是一致的。你们能想到一个实际生活中的例子吗？

生 我经常把书倒扣在桌子上，假设书页不变弯，就好像从书脊（看成一条直线）出发的多个平面（每页）与桌面相交，书脊与每条交线平行。

师 很好！直线与平面平行的判定和性质，乍看简单，证明起来却并不容易。从刚才探索证明思路的过程中，我们既感受到运用反证法、数学公理进行严格证明的理性美，也通过直觉和想象体悟到判定定理、性质定理的原理结构图的和谐统一美。

这里，引导学生用直觉思维帮助论证、领悟数学原理，欣赏反证法中蕴含的数学原理的严谨结构美，领略判定定理、性质定理的原理结构图的和谐统一美：都是在过平面外的一条直线的平面内找该平面与目标平面的交线，只是证明的方向不同。在直觉与逻辑交织互补的过程中，学生获得数学原理结构美、理性美的文化熏陶，体悟数学的美学价值，达成对定理的深刻理解。也就是说，在形式化逻辑演绎的同时，展现形象具体、生动鲜活的思维过程，阐明定理证明的文化价值。

此外，需要指出的是，上述教学过程中，过直线a、b的平面β的引入有些生硬，可以通过略微改变a的方向，多作几条与b几乎平行且在同一平面（即过直线a、b的平面β）内的直线，自然地引出平面β;还可以追问运用哪条公理可以证明a与α的交点在直线b上，自然地将思路引导到公理2上。

（三）数学问题的解决：借助经典问题驱动体悟

数学概念的产生、数学原理的提炼、数学思想方法的形成，最初都来自解决问题的需要。而初步学习数学的概念、原理和方法后，又必须学会用它们去解决问题，才能加深理解，锻炼解题能力。

解题是体悟数学文化的重要途径。将数学文化融入數学教学，不能停留在讲几个有趣的数学故事，引述一段数学史，或抽象地讲述数学的思想方法、理性精神等。要深入体悟数学文化，还需要真刀真枪地求解数学问题，“嗅出”其中的“数学味儿”，悟出其中的“数学道道”，欣赏其中的“意趣”“美妙”，不搞花拳绣腿，不做表面文章。

数学史上有许多经典的问题及结论。针对所求问题的特征，适时地引用数学史中的经典问题，通过探求、反思、拓展，揭示其演变和其中的“不变之道”，既可以让学生体悟数学的真谛，领略数学文化的巨大魅力，又可以较为自然轻松地解决具体问题。

【案例3】“公比为2的等比数列的前n项和”的拓展运用

1.穿越数千年的经典问题。

两三年前，互联网上曾流传过一个有趣的滴水问题：

往一个水池中均匀滴水（每滴水质量相同）。第1秒，1滴水;第2秒，2滴水;第3秒，4滴水;第4秒，8滴水……每一秒滴水的滴数为前一秒的2倍。问：若加满半池需要n秒，则加满整个水池约需要多长时间？

此题利用等比数列的求和公式不难解决：

每一秒滴水的滴数依次为1，2，22，…，2n-1，…，前n秒滴水的总滴数为1+2+22+…+2n-1=2n-1，第（n+1）秒滴水的滴数为2n。可见，第（n+1）秒的滴数比前n秒的总滴数还要多1。因而，第（n+1）秒滴的水足以加满剩下的半池，还有1滴溢出。

其实，这个问题的源头可以追溯至5000年前的古巴比伦：数学史上，等比数列或许比等差数列出现得更早。约在公元前3000年，古巴比伦人就已经总结出等比数列1，2，22，…，29求和的结果：1+2+22+…+29=29+29-1。

这个等式，我们当然可用等比数列的求和公式证明。但是，古巴比伦人是否通过归纳得出，或者找到其他简单朴素的推导方法，现在不得而知。我们从等式右边出现两个同样的29猜想，可能是这样一种推导方法：将等式转化为等价的1+1+2+22+…+29=29+29，从而只要把第1项、第2项结合，就得到2，即得到2+2+22+…+29=29+29，继续把第1项、第2项结合，就得到22，此时出现两个22，以此类推，等式即可得证。

上述两个例子表明，随着项数n的增长，等比数列{2n-1}（或{2n}）的项增长极快，呈现所谓的“几何级数”增长，任意前n项之和都不及随后一项大。

2.华丽变身的高考题。

再来看2014年高考数学江苏卷的一道题：

设数列{an}的前n项和为Sn。若对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”。

（1）若数列{an}的前n项和Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”;

（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d<0。若{an}是“H数列”，求d的值;

（3）证明：对任意等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N*）成立。

题中的“H数列”是怎么回事？从何而来？且看第（1）小题中的数列{an}，已知其前n项和Sn=2n（n∈N*），不难得知其各项依次为2，2，22，…，2n-1，…，即a1=2，an=2n-1（n>1），即它是第一项加了1的等比数列{2n-1}，显然有Sn=an+1（n∈N*），故它是“H数列”。可见，将等比数列{2n-1}的前n项和公式右边减去的1加到左边的第一项上，就得到所谓的“H数列”的最简原型。而将其性质“前n项之和恰好等于第（n+1）项”一般化为“前n项之和恰好等于某一项”，再用“形式化”的语言表达，就得到题中给出的“H数列”的定义。

第（2）、（3）两小题就是在这一定义的基础上编制的。按照一般的“H数列”定义，全体自然数数列是“H数列”;将全体自然数数列去掉前面有限项，或将一个“H数列”的每一项都乘以一个常数，所得仍然是“H数列”。有了这些对常见“H数列”及其基本特性的了解，再求解第（2）、（3）兩小题，虽然不至于成竹在胸，但也不至于束手无策了。

这里，结合数学史上的经典问题和高考真题，带领学生思考并体悟数学文化，不仅仅是将基本原理和方法拓展运用，还可以使学生认识到数学文化的实用价值特征，提高解题的迁移能力，从而在感受数学文化魅力的过程中，激发学习兴趣，提升数学思维能力。

总之，在高中数学教学中，加强数学文化的体悟，引导学生了解数学历史，感受数学之美、趣、用，可以化“冰冷的美丽”为“火热的思考”，不仅能降低学习难度，而且能激发学习兴趣。在近几年的教学尝试中，我们感觉到，概念的引入自然了，原理的探究顺利了，问题的拓展融会贯通了，学生茫然的神情少了，微笑和点头多了，课堂气氛越来越热烈了，课后讨论越来越普遍了。

参考文献：

[1] 张奠宙.数学文化就是要“文而化之”[J].数学教学，2007（4）.

[2] 张维忠.数学教育中的数学文化[M].上海：上海教育出版社，2011.

[3] 郑毓信.数学文化与数学教育[J].中学数学教学参考，2005（10）.

[4] 顾沛.数学文化[M].北京：高等教育出版社，2008.

[5] 涂荣豹，季素月.数学课程与教学论新编[M].南京：江苏教育出版社，2007.

[6] 王华民，侯斌.从一堂概念课的不同导入谈数学史融入教学[J].数学通报，2014（8）.

[7] ﹝法﹞昂利·彭加勒.科学的价值[M].李醒民，译.北京：光明日报出版社，1988.

[8] 徐利治.徐利治论数学方法学[M].济南：山东教育出版社，2001.