一加一，有可能不等于二？

涂小图

在日常生活中，我们的大脑对很多事物都形成了习惯。比如数字，习惯于使用十进制的我们能够轻易地算出“1+1=2”，但是却很难对计算机里的二进制数字有直观的感受。十进制在今天的普遍使用，只不过是人类在生物学上一次偶然进化的结果而已：我们当中的绝大多数人，生来就有10个手指、10个脚趾。除了十进制，二进制、八进制等其他进制又有什么不同呢？

十进制与二进制

十进制计数的规则：①基数为10;②有0—9共10个数字;③逢10进1，借1当10。

二进制计数的规则：①基数为2;②有2个数字，即0和1;③逢2進1，借1当2。

十进制数可以由多位组成，从右向左依次为个位、十位、百位、千位、万位，等等;与此类似，二进制也可以由多位数组成，从右向左分别为1位、2位、4位、8位、16位，等等。同学们是不是感觉二进制的位数很奇怪，中间似乎还缺了好多位？其实这是我们从十进制数的角度来看二进制数而产生的一种错觉。

如上表所示，当二进制产生进位时，对应的十进制数为2、4、8、16、32、64、128……二进制虽然只有0和1两个数字，但是由于数字所处的位置不同，表示的数据也不同。例如二进制数1011共有4位，由3个1和1个0组成，各个数字所处位置不同，所代表的大小也不同，各个数字所处位置在数学上称作“权”。

二进制数1011从右向左顺序各位表示的含义：第一个1表示1的个数，第二个1表示2的个数，第三个0表示4的个数，第四个1表示8的个数。同学们可以类比一下：十进制数1011是由1个1000、0个100、1个10、1个1组成的;二进制数1011是由1个23、0个22、1个21、1个20组成的。

按二进制数1011各位的权列出：1101（二进制）=1×23+0×22+1×21+1×20=11，按这种权展开式，可以很方便地将二进制数转换为十进制数。

相应地，十进制数转换成二进制数通常采用“除2取余，逆序排列”的方法。具体做法是用2整除十进制数，可以得到一个商和余数;再用2去除商，又会得到一个商和余数;如此反复，直到商为0而止。然后，再把先得到的余数作为二进制低位，后得到的余数作为二进制高位，依次排列。

举个例子，将十进制数11转换为二进制数1011：

11÷2=5……1

5÷2=2……1

2÷2=1……0

1÷2=0……1

目前几乎所有的计算机内部的逻辑电路都采用了二进制，这是因为电路中通常只有两个状态，如开关的“开”和“关”、电压的“高”和“低”、电流的“正”和“负”等，这些状态正好可以用数字“1”和“0”表示，十分方便。采用二进制可以使计算机的结构更加简单可靠，提高计算速度。

二进制的计算规则

【加法】只有以下4种可能（逢2进1）：

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=10

对于多位二进制数相加，进位采用“逢2进1”的方式，如表2所示，同学们可以动手列出竖式尝试计算。

对于多位二进制数相减，借位采用“借1当2”的方式，如表3所示，同学们可以动手列出竖式尝试计算。

【乘法】只有4种可能：

0×0=0

1×0=0

0×1=0

1×1=1

十进制的乘法怎么算？相信这可难不倒各位同学，毕竟大家在小学时就已经把九九乘法表（乘法口诀）背得滚瓜烂熟了，而二进制的乘法规则相对来说还要更简单。二进制的乘法可以很简单地转换为各位的加法运算，如表4所示，同学们可以动手列出竖式尝试计算。

我们知道，除法是乘法的逆运算，二进制乘法有4种可能，那除法为什么只有2种呢？这是因为0作为除数是没有意义的。如表5所示，同学们可以动手列出竖式尝试计算。

至于比较复杂的乘法和除法运算，都能简单地转换为加、减和各位的位移操作，所以一般简单的计算机只需设计一个加法器来控制位数变动即可。

古代也有进制概念

明白了二进制的原理，八进制也就很容易懂了。其实我们可以从中国古代历史中找到二进制、八进制的概念，比如八卦。八卦最初其实是古人的一种哲学思想、文字的表述符号，只是后来因为被不少“算命先生”用来忽悠人，而被打上封建迷信的标签。在八卦中，其实也有二进制和八进制的概念，八卦的基本元素就是阴和阳，我们可以把它们看作二进制中的0和1。需要说明的是，八卦和现代计算机中的二进制原理并无关系，仅仅是一种思想上的巧合。

在上图中长实线代表“阳”，用中间断开的线代表“阴”。3种这样的线条组成8种形状，相当于用3位二进制数表示8种状态。

在现代，八进制计数通常采用0—7的阿拉伯数字表示。八进制计数的规则：①基数为8;②由8个数字组成，分别是0、1、2、3、4、5、6、7;③逢8进1，借1当8。

十进制数与其他进制数的转换

上文中将二进制数转换为十进制数的方法“按权展开”，同样适用于将其他进制数转换为十进制数。请看下面这条按权展开公式，学习了数列知识的同学，是不是感觉很亲切呢？

（B表示各进制的基数，n表示位数）

类似地，十六进制计数的规则：①基数为16;②由16个数字（符号）组成，分别是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F;③逢16进1，借1当16。例如同学们可以动手试一试将十六进制数BC0D转换为十进制数：

BC0D（十六进制）

=11×16（4-1）+12×16（3-1）+0×16（2-1）+13×16（1-1）

=48141

此外，我们使用上文中提到的将十进制数转换为二进制数的“除基数B取余，逆序排列”方法，同样可以将十进制数方便地转换为其他进制的数。