没有比较，就没有真知

许莲

摘  要：有比较才有高下，比较对于人类认识事物的认知功能，苏联教育家乌申斯基曾经做出经典总结：“比较是所有理解和内化的前提。”知名心理学家谢切诺夫也谈到：“比较是人最珍贵的智力宝藏，世界上的一切事物总要通过比较从而被人们所认识。”从数学的视角来看，比较算得上一种基本的思想方法，是人脑对客观对象开展归类、抽象、概括的实验工具。小学数学中的许多知识都需要在比较中深刻认知。文章以苏教版第六册“认识几分之一”一课的教学活动为例，试论比较在教学中的运用。

关键词：比较;分数;大小;概念;含义;几分之一

“认识几分之一”是苏教版《数学》第六册（课本第64-67页）的课程。课本把分数定义的学习设置在高年级来完成，出发点是小学生的心理特征与思维方式——由直观的形象思维过渡渐变为抽象的推理思维，处于一个重要的转折期。这部分课程起到承前启后的纽带作用。对于教学均存在很大的难度。笔者在课上诱导学生前前后后展开五轮比较，起到了显著的收效。

一、在比较中锁定旧知与新知的对接点

这堂课的学习任务是：指引学生形成将若干物品合并成一个融为一体的整体，然后分切成若干的等份，取其中一部分，认识所取的部分是整体的几分之一。这块知识是在建立在上学期认识一个物品或者几何图形的几分之一的基础上的。不仅如此，这也为第十册提炼生成单位“1”的概念、归纳分数的含义、理解分数单位等知识点奠定了基础。原有知识的出发点和新知的发力点是：分数几分之一的意义是将一件物品或几何体等分成一定量的份数，选取其中最小的独个单体，也可以表示将一定量物品组成的集合等分成一定量的份数，选取其中最小的独个单体。这个过渡升华设计的成败，会直接决定学生建构分数概念的效果。笔者是这样安排的，先引出一个例题，抛砖引玉，指引学生温习旧知。

1. 把a等分为4份，选取其中1份表示为（    ）。

2. 图1涂色部位如果描述成分数应写作（    ）;无色部位如果描述成分数应写作（    ）。

小结得出：用分数记录数量大小时，分母单独表示等分的总份数，分子单独表示选取的部分包含的最小份数。然后：显示例题中的场景图：

把一包装袋脐橙均分给4 只山羊，每只山羊发到手的橙子，是这一包装袋脐橙的几分之几？指导学生审清题意，明确将一包装袋脐橙均分给4只山羊，也就先要将这包装袋脐橙均分成4份，教师推演分配的过程。实验结果显示每只山羊到手的橙子为这包装袋脐橙的。引领学生开展首次比较：把单个脐橙均分成4份，其中的一份是这个脐橙的。把一包装袋脐橙（4个）均分成4份，其中的一份（1个脐橙）是这包装袋脐橙的。分配之后到手的实收数额不同，为什么都可以用同一个分数表示？生1：这里中的分母4和分子1并非指代橙子的具体数额;生2：在这个分数里，分母是表示分配的总份数，分子表示选取的份额，两种分配方案全部是均分成4份，选取其中独一份，因此均可用分数来表示。通过首次比较，让学生在对比辨析中获知，把单个物品或若干物品的集合均分成一定量的份数，选取其中的一份一律可以用几分之一来指代。

二、在比较中初步探究几分之一的意义

通过首次比较，学生对分数意义的拓宽与引申有所感知。而把一包装袋脐橙（4个）均分成4份，其中的1份（1个脐橙）是这一包装袋脐橙的。这种情景很直观，即使学生对的概念，在一知半解的情形下也能连估带猜地推出答案。为了让学生深刻掌握几分之一的真义，笔者继续抛出下述问题：假设均分给2只山羊，每只山羊到手的橙子是这一包装袋脐橙的几分之几？先让学生猜想：每只山羊到手的是这一包装袋脐橙的几分之几？大部分学生回答是，只有个别头脑灵活思维活跃的学生认为是。针对这两个不同的分数，笔者及时引导学生开展二轮比较：每只山羊到手的是这一包装袋脐橙的还是呢？投石问路。学生们陷入沉思，笔者要求学生亲自动手实践，通过直观演示来验证，揭开内心的疑惑，配合脑海里的思维活动，促进数学思考，并借此机会展开探究交流。通过比较，学生们达成统一意见，把一包装袋脐橙（4个）均分成2份，每只山羊到手的是这一包装袋脐橙的。因为在这种语境下，是把这一包装袋脐橙均分成2份，每只山羊取得其中的1份，而并非把这一包装袋脐橙均分成4份，每只山羊取得其中的2份。通过这次比较，学生在直观操作中深切体会到，把一定量物品组成的一个集合均分成几份，选取其中的1份用分数表示就是几分之一。这里的1份是指一次分配下最小的单体，在不进行二次分割前提下，可以是1个橙子也可以是2个橙子。

比较其实是巩固旧知，加深学生对几分之一的透彻理解和全面把握，防止学生对几分之一理解模糊影响后来对几分之几的掌握，上述比较的巧妙之处在于提取相同因素——选取的对象都是一份（一只山羊所得份额），分子都是1;突出不同因素——分成的总份数不同（瓜分水果的山羊只数不同），分母不同，那么所得到的分数就不同，一个是，一个是。这个分数的意义是很明确的。而在这个过程中，不能理解为的简化，因为分配过程中没有平分成4等份，也没有取其中2份。学生之所以得出这个多余而无益的步骤，是因为学生没有正确处理份数与个数的关系。分數的意义是平分的总份数做分母，所取的份数做分子。前面的份数与个数刚好相等，4个分成4份，1份刚好1个，对学生产生负迁移，所以后面的比较就是消除这个误解。

三、在比较中深刻领会几分之一的要义

通过上面两轮比较，多数学生对分数几分之一的概念，建立了较为完整全面的理论认知，但还不够深刻和细致。于是，笔者借助下面两个问题组织学生开展二轮比较：问题1：同样是把一包装袋脐橙（4个）进行均分，为何一会儿分母是4，一会儿分母又变成2呢？在比较辨析中学生领悟：分母4是因为，把这一包装袋脐橙平分给4只山羊，是均分成4份;分母2是因为平分给了2只山羊，是均分成2份，分配的总份数不同，所以分母不一致。问题2：为何两个分数的分子都是1呢？通过比较辨析，学生领悟，选取的都是其中最小的1份。通过这次比较，学生基本明确，分数几分之一的分母表示的是平均分配的总份数，分子是表示其中最小的单份，这里的1份，可以只含有1个橙子，也能含有几个橙子，与具体数额无关。

通过这一轮的比较，更加深刻揭示出几分之一的本义，这次的比较更加细化，更加有条理，逻辑性强，丝丝入扣。先比较分母的变化，在橙子总个数不变的前提下，为什么分母从4变成2，让学生通过分析将分母与平分的总份数对应起来，然后比较分子的相同，分子保持1不变，让学生通过分析将分子与分配中所取的份数对应起来。因为两次都是取的总份数中的唯一一份，所以分子是1。于是，就将分数的结构进行一次深入的解剖。分子分母各代表什么意义，之间是什么联系也随之捋顺。

四、在比较中夯实基础融会贯通

经历上述三轮比较，学生对几分之一的概念，已经了然于胸。为了夯实加固，笔者增设了下面这个比较的环节：选择正解填在后面的（    ）里，把这一包装袋脐橙平均分配给4只山羊，每只山羊到手的是这一包装袋脐橙的（    ）

学生很快做完，都做对了。笔者引导学生开展第四轮比较：为什么选第三个选项？前两个选项错在哪里？生3：把这一包装袋脐橙平均分配给4只山羊，也就是均分成4份，每只山羊到手的是其中的1份，就是。生4：不管是几个脐橙，均分成幾份，表示其中的1份的数就是这一包装袋的脐橙的几分之一。生5：是表示把这一包装袋脐橙均分成8份，表示这样的1份。而这里是把这一包装袋脐橙均分成4份，所以选项一被排除。生6：第二个选项尽管分母也是4，也能表示把总量均分成4份，但分子2却表示2份，也说不过去，因为每只山羊到手的只有其中的1份，这样算其实是默认把两个脐橙视为一份。通过这次正反例的辨别甄选，学生基本了解了，分数里面的几分之一可以表示若干物体的集合体均分成一定量的份数，其中的最小一份。

五、在比较中灵活运用自由切换

查验学生是否对概念掌握到位，主要看能否熟练运用。在完成课后练习时，笔者进行第五次比较：第1题的第2小题。

学生独自做完后，指导学生辨析：同样是6根香蕉，为何左端每份香蕉是全部香蕉的？而右端每份香蕉是全部香蕉的？生7：因为左端是把全部香蕉均分成3份，右端则是均分成2份，都是选取其中的1份。所以左侧每份是全部香蕉的，右侧每份是全部香蕉的。

比较是掌握知识的一种常用方法，小孩子喜欢比较，但又不会正确科学地比较，因此，教师要注意指导方法和程序，让学生通过自主观察对比，推导出结论，方能掌握技能。