刍议小学生“数学模型”核心素养的培养

陈灯 刘杨

摘  要：“数学模型思想”是《义务教育数学课程标准（2011版）》新增的核心概念之一，文章就课程标准中数学模型素养的内涵进行理解，尝试提出一些培养小学生数学模型素养的途径和策略。

关键词：数学模型;教育价值;策略

一、“数学模型”的含义

数学建模，即把在数学学习中遇到的烦琐知识点以及解决问题中的实际问题进行提炼、总结，抽象为数学模型、求出模型的解、验证模型的合理性，最终形成解决问题的模型这一过程就是“数学建模”。张奠宙教授认为：“广义地讲，数学中各种基本概念和基本算法，都可以叫作数学模型。加减乘除都有各自的现实原型，它们都是以各自相应的现实原型作为背景抽象出来的。但是，按通行的比较狭义的解释，只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统和数学关系的结构才可称为数学模型。例如，平均分派物品的数学模型是分数;元角分的计算模型是小数的运算;1000人的学校里一定有两个人一起过生日，其数学模型就是抽屉原理”。数学模型是运算定律、数学符号以及数学式子对数学知识本质的简化描述，是在知识本质理解的基础上，加以抽象、概括后，进而用简化的数学符号和语言描述出相关的数学结构。

二、“数学模型”的教育价值

（一）数学建模有利于学生体验数学的价值和作用

数学建模为学生创造主动学习的契机，开启数学学习的一种新方式，经历综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强对数学应用意识的理解;让学生深刻体会数学与日常生活以及其他学科的关联，让学生在解决实际问题中体会到数学的价值与作用，学生学习数学的兴趣得以激发，从而发展学生的创新意识和实践能力。

数学模型与知识本质是一种反映与被反映的关系，知识本质中包含着许多琐碎的、零散的知识点，这些知识点相互影响而且呈现着错综复杂的关系，通过总结、归纳构建模型。构建数学模型也就是简化数学学习中的知识点，舍弃无关的、琐碎的知识，把主要知识点加以纯化，让知识本质得以联系，即梳理出主要知识点的关系，首先必须对原始知识做必要的、适度的简化假设，而后运用相关数学分析的方法，用简化的数学语言、数学符号对知识本质的联系进行描述。数学模型可以提高学生对数学知识清晰、准确的认识和理解，对数学的表达和交流提供更加有效的途径，也为解决数学问题提供重要的工具。

（二）数学建模有利于学生数学学习方式的改善

构建数学模型并不是单纯地解决数学问题，它是一个具有逻辑性的、综合性的过程，它具有过程性、搜索性、活动性、问题性等特点，有利于改善学生的数学学习方式。在构建数学模型过程中，用到的学习方式通常有：信息技术辅助学习方式、开放式学习方式、合作式学习方式、小课题学习方式。

构建数学模型是研究人类社会实际问题和自然界的一般方法，也是数学理论研究的一种经典方法，数学模型思想是数学教学的重要内容，数学建模一般按以下几步进行：第一步，对知识本质进行分析、概括，建立起连接知识本质的模型;第二步，对相关数学模型进行推理和演算，根据已知的数据或条件对模型求解，进而求得数学模型的解;第三步，把所得的解代入數学模型，进一步验算数学模型。数学建模活动是由几个人组成的小组来开展的，大家密切配合，集思广益，取长补短，分工合作，可以激发学生共同讨论问题，集体公关的协作精神，并利用集体的智慧选择最佳方案。

（三）数学建模有利于学生理解、掌握知识的本质

学生在建构数学模型的过程中多种能力都能得以提升，学生在活动过程中理解、掌握有关知识、技能，有利于学生理解、掌握知识的本质，感悟模型思想的本质;使学生更有思想、方法，积累一些活动经验，在帮助学生发现、提出、分析、解决问题的过程中，培养学生的应用意识与创新意识，其情感态度（如兴趣、自信心、科学态度等）也得以提升。

学生在构建数学模型的活动中，其对数学思想方法的理解也更深一层，学生调动原有的知识经验尝试解决新问题，就是同化新知识并构建新的数学模式的过程，在做数学、创造数学、交流数学、应用数学、感悟数学的过程中，原有的知识储备在学生的主动调用下得到进一步理解，并主动将各部分知识加以联想整合，原本独立的知识体系在这一过程中也变得更加完整，进而统一。

三、培养小学生“数学模型”素养的策略

作为数学学习过程中的一个重要数学结构工具，“数学建模”不仅是对现实中的某一特定数学对象和规律进行分析与展示，还能在此基础上开展一些必要的假设与简化，以此来形成一种独到的数学结构，同时该教学手段也能够有效地提升小学生的整体数学素养。

（一）理解知识本质，树立建模意识

1. 挖掘课本素材，激发建模意识

数学教育思想在新的教育形势下也悄然发生着改变，由此新的教材内容教学方法以及数学课程标准的制定也得以更改。例如在教学《鸡兔同笼》时，教师首先可以让学生用列表法解答问题，同时让学生体会当数量很多的时候用列表法有一定的局限性。这时顺势出示假设法，把鸡假设成兔子，这样建立模型时学生就比较容易接受。在教学“鸡兔同笼”这一经典课例中，教师一般都是引导学生以“鸡”或“兔”的角度来思考，通常先假设都是兔子，待学生解释清楚这种方法的步骤，又可以让学生假设全部都是鸡来解决这道题。经过这样的学习过程，学生会发现不管是假设都是兔子，还是假设都是鸡，我们的数学模型都是一样的，让学生感受基本的数学模型。

2. 沟通知识运用，增强应用意识

数学应用已成为广大数学教育工作者的共识，数学教育内容的改革，呼唤数学应用意识，提高数学应用教学质量。例如“长方形的周长”教学，长方形的周长公式是长与宽的和乘2，而在学生初次学习长方形周长时部分学生习惯用“长×2加宽×2”，这种普遍情况主要是由于学生对长方形的特征理解不深刻造成的。教师可以借助实物以及图形来辅助学生理解长方形模型，充分理解长方形的四条边可以分为两组，每组分别为一条长和一条宽，要求长方形的周长只需求出一组长和宽的和，再乘2。从长方形的特征本质去理解长方形周长公式，在理解知识的过程中逐步树立建模意识，随着学生理解能力的提升，教师应对学生数学建模意识有更高的要求，提升数学模型的目标。

（二）设计数学活动，体会建模过程

帮助学生构建数学模型的过程，教师应抓住合适的时机，运用恰当的方式引导学生参与进来，经历整个构建数学模型的过程，通过观察、操作、分析、概括等方式，其中最为核心的就是要让学生亲身经历“数学化”的过程，从具体情境中抽象出数学模型，让学生拥有真正的学习体验。例如在教学《圆柱体积》时，如图1，学生首先通过操作、分析以及多媒體教学软件等手段的综合应用，理解将一个圆形转化为一个近似长方形，进而沟通将一个圆柱转化为长方体，渗透极限思想，在构建圆柱体积公式的数学模型这一过程中，通过转化原有的知识经验，实现未知向已知的转变，从而找到思维策略背后所存在的共同性与差别性，最终构建圆柱体积公式这一数学模型。这种用以往的旧知识转化出新知识的学习方式，是一种数学模型搭建过程中的催化剂，也会对小学阶段的数学模型进行体验与提炼，还能帮助与支撑整体的构建理性的提升。

（三）利用多种方式，理解数学模型

小学阶段的模型思想的教学，作为学生建模的初级阶段十分重要，应当抓住合适的时机、利用适当的内容、采取合适的方式让学生来体验和感悟模型思想，经历构建数学模型的过程，如教学：长方形、正方形的周长、面积计算，三角形内角和的计算，长方体、正方体的棱长、表面积、体积计算，圆的周长、面积计算。而几何公式的教学都以认识特征为基础——从二维图形到三维图形，从直边到曲边，学生对于公式的探索都是建立在对构成图形的特征要素的充分认知的基础之上，同时更多地以沟通联系为手段——构建公式总是要研究长方形、正方形或长方体、正方体的周长、面积、体积与长宽（高）之间的联系，研究内角和与三个内角之间的联系，研究圆周长、面积和圆半径、直径之间的联系，以此形成模型。

（四）借助已有经验，提升建模能力

学生的生活经验、活动经验是学生理解数学模型、认识数学本质、建构数学模型的重要前提，能提供强劲的数学建模的学习动力，启迪学生的数学模型的构建。例如，在教学“行程问题”时，学生构建行程问题的数学模型思想过程中，教师通常运用一段学生切身经历来唤起学生的生活记忆：“甲乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时，几小时后在距中点40千米处相遇？A、B两地相距多少千米？”对这个问题，学生是有一定的生活经验的，首先可以让学生根据已有的经验用语言描述甲乙两车的行驶路程是怎样的，理解“同时、相对、中点”等重要词语的意思，再通过画线段或示意图的方式来表达甲乙两车行驶的过程，让学生通过画图的方式结合已有的生活经验描述甲乙两车的行驶路线，最终充分利用已有的生活经验来完成相应的数学解析。

四、小结

构建数学模型的过程，本质就是“数学化”的过程，这种“数学化”不是抽象的“形而上”的，也不是空洞的“形式化”的，而是站在数学的视角去观察、分析、解决问题。“数学建模”现已成为新课程改革的一个重要方向和关键性内容，教师需要引起高度重视，对数学建模策略进行深入研讨和总结归纳。