源自考题 探索变式

赵金丽

(浙江省杭州市余杭中学，311120)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》提出，要注意培养学生的数学核心素养.在课堂上渗透数学核心素养，让学生不断体验数学学习的过程，从而培养新时代学生的自我学习研究能力和创新活力是重中之重.

课堂形式是多样的，一般来讲，可大致分为新授课、综合应用课和试卷评价课.而在试卷评价教学中，可以选择一个题目或一类题型展开变式教学.本文以浙江省2017年高考题为载体，探索研究变式教学的方法.

一、原题呈现

2017年浙江省高考数学简答题的第2题，使得很多学生在该题上思维受阻，原因是用向量法建系时很难让所有坐标轴落在四棱锥的边上，以常规方法建系时四棱锥的顶点不能在z轴上，而用几何法找角时又不能直接通过斜线上的一点去作该面的垂线，因此有一定的难度.原题呈现如下：

如图1，已知四棱锥P-ABCD，∆PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点.

(1)证明：CE∥平面PAB；

(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.

分析第(1)问可运用几何法，即用线面平行的判定理.第(2)问给出两种方法解决，运用向量法和几何法找到线面角求值，关键就是找线面垂直，而这种垂直往往会利用面面垂直的性质定理.

解析(1)证明：取AP的中点F，连结EF，FB，如图2所示.由于EFBC,所以四边形EFBC是平行四边形，则CE∥BF.又因为CE⊄平面PAB，BF⊆平面PAB，由线面平行的判定定理，可知CE∥平面PAB.

(2)方法1(几何法)

所以CE2=CD2+ED2-2CD·EDcos∠PDC

方法2(向量法)

二、变式训练

变式1如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BC=CD=1，AD∥BC，E是PD的中点.

(1)证明：CE∥平面PAB；

(2)若∠DAB=60°，求BE与平面PBC所成角的正弦值.

解题指导(1)证明线面平行，一般通过线面平行的判定定理或者面面平行的定义得到，因此可以从这两个方面入手.本题可以在平面PAB中找一条与CE平行的直线，通过线面平行的判定定理得到.(2)求线面角可以通过几何法找到线面角求出，或者通过等体积法求出高，再求出线面角，也可以通过建系，用向量法，最后代入线面角的公式求出.

解题过程略.

变式2如图6，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BC=CD=1，AD∥BC.

(1)若E是PD的中点，证明：CE∥平面PAB；

解析(1)证明：在AP上取中点F，连结EF，BF，则EFBC,所以四边形EFBC是平行四边形，所以CE∥BF.又因为BF⊂平面PAB,CE⊄平面PAB，所以CE∥平面PAB.

(2)方法1(空间向量法)

方法2(等体积法)

如图8，过点B作BH垂直平面PCD，连结EH，则∠BEH即为直线BE与平面PCD所成角.

在立体几何题上采用一题多解，由根生叶，并设置开放性问题，把学生带入立体几何的海洋中遨游，可以培养学生发现问题，分析问题，解决问题的能力，同时也有助于六大核心素养的渗透.