《方程的根与函数的零点》教学设计

成小院

一、教学内容分析

函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带，在整个高中数学教学中占有非常重要的地位。

本节通过对二次函数图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形.它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，引出对函数知识的总结拓展。

本节课渗透着重要的数学思想 “特殊到一般的归纳思想” “方程与函数”和“数形结合”的思想，因此教好本节至关重要。

二、学生学习情况分析

学生之前已经学习了函数的图象和性质，因此从学生熟悉的二次函数图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，应该是容易理解的。一元二次方程是初中的重要内容，学生应该有较好的基础对于它根的个数以及存在性学生比较熟悉，这也为我们归纳函数的零点与方程的根联系提供了知识基础。但是学生对其他函数的图象与性质认识不深（比如三次函数），对于高次方程还不熟悉，缺乏更多类型的例子，让学生从特殊到一般归纳出函数与方程的内在联系，因此理解函数的零点、函数的零点与方程根的联系应该是学生学习的难点。加之函数零点的存在性的判定方法的表示抽象难懂。因此在教学中应加强师生互动，尽多的给学生动手的机会，让学生在实践中体验二者的联系，并充分提供不同类型的二次函数和相应的一元二次方程让学生研讨，从而直观地归纳、总结、分析出二者的联系。

三、设计思想

教学理念：培养学生学习数学的兴趣，学会严密思考，并从中找到乐趣

教学原则：注重各个层面的学生

教学方法：启发诱导式

四、教学目标

以二次函数的图象与对应的一元二次方程的关系为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，发现并掌握在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法;学会在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法。让学生在探究过程中体验发现的乐趣，体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想，培养学生的辨证思维以及分析问题解决问题的能力。

五、教学重点难点

重点：函数零点与方程根之间的关系;连续函数在某区间上存在零点的判定方法。

难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系;探究发现函数存在零点的方法。

六、教学程序设计

1.方程的根与函数的零点.

问题1：先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：如图7-1

1方程与函数

2方程与函数

3方程与函数

[师生互动]

师：教师引导学生解方程、画函数图象、分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系，推广到一般的方程和函数引出零点概念。

零点概念：对于函数y=f（x）（x∈D），把使f（x）=0成立的实数x叫做函数y=f（x）（x∈D）的零點。

师：填表格

生：经过独立思考，填完表格

师提示：根据零点概念，提出问题，零点是点吗？零点与函数方程的根有何关系？

生：经过观察表格，得出第一个结论

师再问：根据概念，函数y=f（x）的零点与函数y=f（x）的图象与x轴交点有什么关系

生：经过观察图像与x轴交点完成解答，得出第二个结论

师：概括总结前两个结论（请学生总结）。

1）概念：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现，而是实数。例如函数的零点为x=-1，3

2）函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标.

3）方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。

师：引导学生仔细体会上述结论。

再提出问题：如何并根据函数零点的意义求零点？

生：可以解方程而得到（代数法）;

可以利用函数的图象找出零点.（几何法）

第一阶段设计意图

本节的前半节一直以二次函数作为模本研究，此题是从特殊到一般的升华，也全面总结了二次函数零点情况，给学生一个清晰的解题思路。

2.零点存在性的探索

师：要求生用连续不断的几条曲线连接如图4  A、B两点，观察所画曲线与直线l的相交情况，由两个学生上台板书：

生：两个学生画出连接A、B两点的几条曲线后发现这些曲线必与直线l相交。

师：再用连续不断的几条函数曲线連接如图A、B两点，引导学生观察所画曲线与直线l的相交情况，说明连接A、B两点的函数曲线交点必在区间 （a，b） 内。

生：观察下面函数f（x）=0的图象（如图5）并回答

图5

①区间[a，b]上______（有/无）零点;f（a）·f（b）_____0（<或>）。

②区间[b，c]上______（有/无）零点;f（b）·f（c）_____0（<或>）。

③区间[c，d]上______（有/无）零点;f（c）·f（d）_____0（<或>）。

师：教师引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系。

生：根据函数零点的意义结合函数图象，归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析总结概括形成结论）

一般地，我们有：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f（a）·f（b）<0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c ∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根。

第二阶段设计意图：

教师引导学生探索归纳总结函数零点存在定理，培养归纳总结能力和逻辑思维

3.例范研究

已知函数f（x）= -3x⁵-6x+1有如下对应值表：

函数y=f（x）在哪几个区间内必有零点？为什么？

通过本例引导探索，师生互动

探求1：如果函数y= f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）>0时，函数在区间（a，b）内没有零点吗？

探求2：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f（a）·f（b）<0时，函数在区间（a，b）内有零点，但是否只一个零点？

探求3：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且函数在区间（a，b）内有零点时一定有f（a）·f（b）<0 么？

探求4：如果函数y=f（x）在區间[a，b]上的图象不是一条连续不断的曲线，函数在区间（a，b）内有零点时一定有f（a）·f（b）<0 ？

师：总结两个条件：

1）函数y= f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线

2）在区间[a，b]上有f（a）·f（b）<0

一个结论：函数y=f（x）在区间[a，b]内至少存在一个零点

补充：什么时候只有一个零点？

（观察得出）函数y=f（x）在区间[a，b]内单调时只有一个零点

求函数的零点个数.问题：

1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？

2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？