数学建模在高职汽车类专业中的应用研究——以汽车装配顺序优化为例*

王 雪

(武汉交通职业学院，湖北 武汉 430065)

数学建模是利用数学方法、数学知识解决专业和实际生活中问题的一门学科[1]。它广泛应用于多门汽车类专业核心课程重难点内容的教学中，如装配顺序优化、运输规划与优化、车辆大修与更新方案的制定等。但是，数学建模教学中还存在一些问题，如教学内容与汽车专业实际结合不够紧密，模型求解步骤有点多，部分数学软件高职学生掌握有些许困难等，导致学生不能灵活应用建模思想和方法解决专业和实际生活问题，影响了汽车专业教学质量。因此，数学建模教学要紧密联系专业实际，灵活运用经典数学模型和计算机技术解决专业问题，积极服务专业教学。

汽车装配顺序优化是“汽车制造工艺基础”课程中的重点和难点内容，也是汽车类专业学生必须掌握的一项基本技能。目前，针对这一问题的研究主要有：王诚[2]通过分析装配线上颜色、配置、动力等工艺要求，建立了满足20个约束条件的LP模型，利用Matlab软件求解，该算法要求学生有较强的理解能力和编程能力；于倩[3]采用启发式算法对生产计划和装配线上颜色进行组合优化和分层交叉分析设计；陈卫忠[4]使用先考虑颜色较特殊的蓝色，再考虑数量多的黑色、白色，最后考虑可间隔数量多的金色等进行手动排序。于倩和陈卫忠均手动完成了一日的装配顺序优化，这两种算法要求学生有较强的归纳概括能力和逻辑思维能力。通过教学实践和研究，发现上述算法更适合高职院校建模竞赛的赛前培训，若适当降低装配工艺要求，可进一步优化模型建立、求解和应用。本文采取把装配顺序优化转化为经典的TSP模型，利于高职学生理解掌握；利用无需编程基础的lingo软件求解模型，且模型便于推广应用，有益于培养学生灵活运用知识的能力，并让学生深刻体会数学建模广泛的应用价值。因此，本文建模方法更适合高职汽车类专业数学建模课堂教学。

下面结合汽车类专业装配顺序优化实例，从问题分析、模型建立、模型求解、模型解释及检验、模型使用条件等方面，详细阐述数学建模方法和计算机技术在汽车类专业中的应用。

1 专业实例

某汽车公司生产多种颜色的汽车，有黑、白、黄、红、蓝、银、金、棕、灰9种；公司每天可装配各种颜色的汽车共460辆，每天生产各种颜色车辆的具体数量由市场需求和销售情况决定。该企业制定了2019年9月17日的生产计划，各种颜色及数量如表1所示。

表1 各种颜色的汽车及数量

车辆装配流程：汽车装配分两步，第一步是总装线作业，第二步是喷涂线作业，喷涂线有C1、C2两条线，要求C1线安排奇数，C2线安排偶数。

总装线上对颜色要求：1.黑色汽车必须连排；白色汽车可连排，也可和蓝或棕色汽车间隔排列。2.蓝色汽车必须与白色汽车间隔排列；颜色为黄或红的汽车必须与颜色为银、灰、棕、金中的一种颜色的汽车间隔排列。3.灰色或银色汽车可以连排，也可和黄、红、金中的一种颜色的汽车间隔排列；金色汽车要与黄色或红色汽车间隔排列；如果无法满足，也可以与颜色为灰、棕、银中的一种颜色的汽车间隔排列。4.棕色汽车可连排，也可与黄、红、金、白中的一种颜色的汽车间隔排列。5.关于其他颜色，遵循“不允许即禁止”的原则。

喷涂线上对于颜色要求：颜色相同的汽车应尽可能连续喷涂，不同颜色之间切换次数越少越好，黑色与其他颜色之间的切换成本很高，最好不切换。

问题：根据上述要求结合所给的数据，请你替该企业制定符合上述装配要求，并且生产成本较低的装配顺序。

2 问题分析

生产成本主要包括装配成本、喷涂所需材料费用和颜色切换费用。喷涂所需材料费用是固定的，所以生产成本高低的关键因素是装配成本和颜色切换费用。下面采用化整为零、各个击破以及积零为整的数学思想，详细分析以下三种成本与装配线上颜色要求之间的关系。

2.1 颜色切换费用分析

喷涂线上对于颜色的要求是同种颜色的汽车应尽量连续喷涂作业，尽量减少喷涂线上不同颜色之间的切换次数，尤其是黑色与其他颜色之间的切换成本很高。因此，要降低颜色切换费用就要使颜色切换次数尽可能少，尤其是黑色与其他颜色的切换次数尽可能少。此处采用含糊化明朗、复杂化简单的化归数学方法，作出如下数学假设：假设黑色与其他颜色的切换费用为9.5；其他颜色只要求能不切换尽量不切换，并没有指出其他颜色间的切换费用有明显区别，且间接告知其他颜色间切换费用远远小于黑色与其他颜色间的切换费用，因此设其他颜色间的切换费用均为0.5。9.5和0.5并不是颜色切换的真实费用，只是表示黑色与其他颜色间切换费用远远高于其他颜色间的切换费用。

2.2 装配成本分析

装配成本主要考虑总装线上对颜色的要求。采用化繁为简及分类概括的数学思想，根据总装线上对颜色要求把汽车分为7类：1.按“白蓝白”的顺序排列的汽车，记为L类车；2.剩余的白色车看成一类，记为白车；3.因为黄色车和红色车满足条件相同，记为S类车；4.银色和灰色车满足条件相同，记为R类车；5.其他同种颜色车看成一类，分别记为黑车、棕车、金车。即把9种颜色的汽车分为7类：L类、S类、R类、白车、黑车、棕车、金车。再利用抽象化具体、含糊化明朗的化归数学方法，把总装线上对颜色要求满足的强烈程度分为“必须”“可以”“无法满足亦可以”“禁止”四个等级。经分析知，按照“必须”等级的排序是装配成本最少的排序，按照“禁止”等级进行排序，装配成本高的无法承受，因此，颜色要求满足的程度越弱，装配成本会越高。为了简化计算，按照“必须”“可以”“无法满足亦可以”“禁止”四个等级，假设装配成本分别为0、0.5、2.5、98.5。此处装配成本不是实际的装配成本，是根据解决问题的需要，利用数学方法做的合理假设。

2.3 生产成本分析

生产成本主要受颜色切换费用和装配成本影响，因此，降低生产成本转化为降低颜色切换费用与装配成本之和。根据TSP数学模型[5]，可以把生产成本最低问题转化为7类车之间的旅行商(TSP)问题。具体转化方法为：把7类汽车看作7个城市，每两个城市间的距离[6]定义为这两类车相邻时所需颜色切换费用与装配成本之和，求出游历这7个城市一遍所走的最短距离及游历路线，则游历路线就是7类车的最优装配顺序。然后，再对必须间隔排列的颜色根据生产计划中的数据进行间隔排列，制定出满足装配要求且生产成本最低的装配顺序。

3 模型建立

3.1 定义各类车间的距离

根据问题分析中的颜色切换费用和装配成本假设，定义各类汽车间的距离：1.黑车与其他颜色之间切换成本较高，定义黑车与其他类车间距离为10；2.白色汽车可以连续排列，也可以和蓝或棕车间隔排列，定义白车与棕车间距离为1，与L类车间距离为0.5；3.定义L类车与其他类车间距离同白车与其他类车间距离；4.S类车必须与R类、棕车、金车间隔排列，定义S类车与R类、棕车、金车间距离为0.5；5.定义R类车与金车间距离为3；6.定义金车与棕车间距离为3；7.同类车间距离为0，其他类车间距离为99。7类车间的距离如表2所示。

表2 各类车间距离

3.2 建立模型

旅行商(TSP)问题是指一名推销员准备前往若干城市推销产品，然后回到他的出发地。为他设计一条最短的旅行路线(从驻地出发，经过每个城市恰好一次，最后返回驻地)。用图论的术语说，就是在一个赋权完全图中，找出一个有最小权的Hamilton 圈[7]。

设ωij是城市i与城市j间的距离(i类车与j类车间的距离，i=1,2,…,7；j=1,2,…,7，分别表示黑、白、L、金、棕、S和R类车)。引入0-1变量，设

建立数学模型如下，

4 模型求解

用lingo软件求解，编写程序代码如下：

SETS:

CITY / 1.. 7/: U;

LINK(CITY,CITY):D,X;

ENDSETS

DATA: !对7个城市间距离逐一赋值;

d=0 10 10 10 10 10 10

10 0 0.5 99 1 99 99

10 0.5 0 99 1 99 99

10 99 99 0 3 0.5 3

10 1 1 3 0 0.5 99

10 99 99 0.5 0.5 0 0.5

10 99 99 3 99 0.5 0;

ENDDATA

N=@SIZE(CITY);MIN=@SUM(LINK: d*X);

@FOR(CITY(K):@SUM(CITY(I)| I #NE# K: X(I,K))=1;

@SUM(CITY(J)| J #NE# K: X(K, J))=1;

@FOR(CITY(J)| J #GT# 1 #AND# J #NE# K: U(J) >=U(K) + X (K,J) -

(N - 2) * (1 - X(K, J)) +(N - 3) * X(J,K)));

@FOR(LINK: @BIN(X));

@FOR(CITY(K)| K #GT# 1:U(K) <=N - 1 - (N - 2) * X(1,K);

U(K) >=1 + (N - 2) * X(K,1));

点击lingo窗口的solve按钮，得出：x17=x21=x32=x45=x53=x64=x76=1，其他xij=0，i=1,2,…,7；j=1,2,…,7。

5 模型解释及检验

由求解结果知，汽车装配线上7类车的排序为：黑→R→S→金→棕→L→白→黑。根据颜色要求， S、金两种颜色汽车必须间隔排列，黑车只能连续排列，其他类车可以连续也可以间隔排列。由此设计出如下三个排序步骤。

(1)先连排261辆黑车，按奇数排C1喷涂线，偶数排C2喷涂线。

(2)排R类、S类和金车，因为S类车、金车必须间隔排列，所以优先满足金车与S类车。S类车共有14辆，需要14辆金与R类车间隔。其中金车2辆，R类车22辆，所以剩下的10辆R类车连排，具体顺序为：10辆灰连排→1黄→1灰→2黄→1银→3黄→2银→4黄→3银→5黄→4银→1红→5银→2红→6银→3红→7银→4红→8银→5红→9银→6红→10银→7红→11银→8红→1金→9红→2金。

3.接着排棕车、L类和白车：1棕→1白→2棕→2白→3棕→3白→4棕→4白→5棕→5白→6棕→6白→1蓝→7白→2蓝→8白→3蓝→9白→4蓝→10白→5蓝→140辆白连排。

至此，460辆车全部排完。上面排序完全符合总装线上对颜色的要求，按照奇数在C1喷涂线，偶数在C2喷涂线上的喷涂要求，喷涂线上不同颜色共切换10次：黑色与灰色切换2次；黄色与红色、黄色与灰色、银色与灰色、红色与棕色、银色与金色、金色与白色、棕色与蓝色、蓝色与白色各切换1次。这是在满足总装线上对颜色复杂要求的条件下，喷涂线上黑色与其他颜色及其他颜色间切换次数最少，使得生产成本最低的装配顺序。

6 模型推广及应用

6.1 优化每日汽车装配顺序

模型不仅能方便优化专业实例中企业2019年9月17日的汽车装配顺序，还可以优化每日的汽车装配顺序。如果喷涂线和总装线上对颜色要求不改变，只有顾客对各种不同颜色的汽车需求数量和企业的装配数量发生变化。这些数据的变化不会影响模型解释中7类汽车按照黑→R→S→金→棕→L→白→黑的排序，对所有车辆排序时只需在模型解释及检验环节的三个排序步骤中手动调整个别数据即可完成汽车企业每天汽车装配顺序的制定。如果喷涂线和总装线上对颜色要求发生改变，只需按照颜色要求重新划分汽车类别并定义各类车间的距离，然后更新模型求解中距离数据，求出各类车的最优排序，再按照模型解释中的步骤便可完新成新要求下的汽车装配顺序优化。

6.2 优化路线

2020年初，武汉市新冠肺炎爆发，医疗物资和生活物资严重短缺，配送车辆和工作人员也严重不足。如何把医疗物资从仓库以最快的速度依次运往各大医院，再回到仓库开始新一轮的运送，医疗物资配送路线有数十种选择，因此配送路线优化至关重要。使用该建模方法，根据配送医院构成的交通网络图，定义两两医院间的距离为走过两医院所花的最短时间，再建立TSP模型可以解决急需医疗物资的配送路线优化问题，为武汉市抗击疫情提供强有力的支撑。随着疫情进一步蔓延，武汉市实施了社区防控，市民生活物资配送成了社区工作的重要内容，社区工作人员如何以最快的速度完成市民生活物资的配送呢？该建模方法同样可以完成封控社区市民生活物资配送路线优化。当然，模型还可以解决景区游览路线优化、快递配送路线优化等问题。

7 模型评价

7.1 模型适用范围

生产成本只考虑喷涂线上颜色切换费用和总装线上装配成本，没有考虑其他不受颜色要求影响的成本。颜色切换费用是根据喷涂线上对颜色切换次数的要求假设的，是抽象的数据，不是实际的颜色切换费用；装配成本假设也不是实际的装配成本，是按颜色要求满足等级而假设的。因此，本模型适合生产成本受颜色影响且无需计算出实际生产成本的汽车装配顺序优化问题，如果生产成本还受其他因素如型号、配置、动力等影响，需要改进模型。

7.2 模型优点

(1)采用分类法和抽象概括的数学思想方法把总装线上对颜色要求满足条件相同的车看为一类车，从而把460辆9种颜色汽车分为7类，把460辆车的排序问题简化为7类车的排序问题，起到了化难为易、化繁为简、突破难点的作用。

(2)采用化归和假设的数学方法把喷涂线与总装线对颜色要求的复杂限制条件分别与颜色切换费用和装配成本联系起来，分别对颜色切换费用和装配成本做了合理的数学假设，进而定义相邻两类车间的距离为这两类车相邻时的生产成本，从而转化为熟知的TSP问题，这种巧妙的转化是文章建模方法的亮点。

(3)整个建模过程多次使用“化整为零、积零为整、化繁为简、化难为易”的数学建模思想方法，采取了各个击破、突破难点的建模策略，利于高职学生理解掌握，且便于推广应用。

8 结语

本文结合高职汽车类专业课程中的汽车装配顺序优化问题，采用“化整为零、积零为整、化繁为简、化难为易”的数学思想和分类概括、分析、化归等数学方法，把460辆待排序装配车辆简化为7类车排序，并根据装配线上对颜色排序的复杂要求定义7类车间的距离为两两相邻排序时的生产成本，从而把难点内容转化为经典的TSP数学模型。把该研究应用到汽车类专业数学建模教学和专业实践中，不但利于学生掌握汽车装配顺序优化这一基本专业技能，还利于学生学会如何从纷繁复杂的、看起来毫无关系的问题中抽丝剥茧，分析它们之间的联系，再利用数学建模思想方法和数学知识解决专业实际问题。这对学生分析问题、解决问题及创新能力的提升有很大帮助，也能让学生体会到数学建模在学习、生活及日后工作中的广泛应用。