三维实李代数的分类

胡建华， 栗菲菲， 刘 静

（上海理工大学 理学院，上海 200093）

李代数的分类问题是李代数结构理论的核心内容。经典的李代数理论[1-3]利用根系理论完整地给出了特征为0的代数闭域上的有限维半单李代数分类。但对于特征为或非代数闭域上的李代数分类还有许多未解决的问题。而对于这些李代数的研究，总是从低维开始的。文献[4-7]利用同构定理研究了低维的可解李代数和幂零李代数分类问题。实数域是特征为0的数域，但它是非代数闭域，因此，实李代数的结构与复李代数的完全不同。本文研究三维实李代数的分类问题，利用同构定理，根据导代数的维数[8-10]给出三维实李代数的完整分类。

1 基础知识

定理1[1]令和是2个维 李代数，，若它们存在一组对应基，其对应的结构常数相等，则和同构。

同构的2个李代数，它们的导代数的维数相同。

文献[1,3]在同构意义下给出了一维、二维实李代数的分类。一维实李代数只有一类，，是交换李代数，满足，记为。二维实李代数有两类。一类是交换的，满足，记为；另一类是非交换的，满足，记为。

现根据导代数的维数分别讨论三维实李代数在同构意义下的分类。

2 三维实李代数的分类

2.1 导代数维数为0和1

2.2 导代数维数为2

2.3 导代数维数为3

最后，将以上关于三维实李代数的讨论总结为定理2。

定理2 在同构意义下，3维实李代数有如下8类：