浅谈初中函数解析式的探求

郑志斌

【摘要】函数解析式是初中数学课程的主要内容之一，探求函数关系式表示方法有解析法、列表法和图像法等，其中函数解析式是最常用的一种方式。

【关键词】初中  函数  解析式  例题

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2020）18-0151-01

一般情况下，要想确定实际问题中函数的解析式，首先明确它是哪种函数类型，然后利用待定系数法求解。比如，正比例函数y=kx（k≠0）由于只含一个待定系数，只要给一组对应值，建立方程即可求得k的值。对于一次函数y=kx+b（k≠0），则需要给两组对应值，列出两个方程，（即建立一个关于k、b的二元一次方程组，求出k、b的值），对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的解析式有三种表达形式。可根据不同条件设为不同的解析式。若知道图像上的三个点的坐标宜选用一般式：y=ax2+bx+c，若知道顶点坐标或对称轴才宜选用顶点式：y=a（x-h）2+k，若知道图像与x轴的两个交点坐标x1，x2，宜选用交点式：y=a（x-x1）（x-x2）。再根据给出条件，求得函数解析式。

一、从方程（组）中探求函数解析式

方程与函数联系密切，解决这类问题要找准切入点，注意函数的图像信息与方程的代数信息的转化。

例1.某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件。该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？

分析：在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答：

1.商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系？   [利润=（售价-进价）×销售量]

2.如果不降低售价，该商品每件利润是多少元？一天总的利润是多少元？

[10-8=2（元），（10-8）×100=200（元）]

3.若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元？一天可销售约多少件商品？

[（10-8-x）;（100+100x）]

4.x的值是否可以任意取？如果不能任意取，请求出它的范围，

[x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2]

5.若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。

[y=（10-8-x）（100+100x）（0≤x≤2）] 即y=-100x2+100x+200（0≤x≤2）

点拨：此题按照列方程解应用题思想，一步一步找出数量之间的关系，并最终把数量关系转化成函数关系，此题还可画表格进行分析。

二、几何图形中函数解析式的探求

几何图形中要建立函数关系：将题目中的几何量用含有字母的代数式表示，转化为我们熟悉的三角形，四边形等图形中的量，利用一些图形特定性质和几何定理求出函数解析式及其自变量的取值范围。

例2.如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，截取AE=BF=DG=x.已知AB=6，CD=3，AD=4.求四边形CGEF的面积S关于x的函数表达式和x的取值范围。

分析：求四边形CGEF的面积S可转化成直角梯形ABCD

面积分别减去△EGD，△EFA和△BCF的面积，再把直角梯形ABCD，△EGD，△EFA和△BCF的面积分别用x的形式表示出来

解：S=S梯形ABCD-S△EGD-S△EFA-S△BCF

点拨：自变量的取值范围应该考虑几何的实际意义。

三、实际应用问题中的函数解析式的探求

例3.某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌， 广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边长为x米，面积为S平方米。求出S与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围。

解： 由矩形的一边长为x米，得另一边长为米，即（6-x）米，∴S=x（6-x）=-x2+6x，即S=-x2+6x，其中0

点拨：注意自变量取值范围应符合实际意义。

四、教學反思

对于函数解析式的探索关键是：要建立函数模型，根据条件确定函数的表达式，其中包括自变量的取值范围。自变量取值范围应考虑解析式有意义，另外还应考虑到几何或实际背景的限制。

参考文献：

[1]王建磐主编，义务教育课程标准实验教科书[M]上海：华东师范大学出版社。