论数学美的内容与形式的关系

【摘 要】 数学美是数学创造的自由形式，既有深刻的内容，又有内在形式和外在形式。形式反映内容，内容也必须借助一定的形式而表达出来。数学美的内容通过内在形式或以内在形式为中介而与外在形式相联系。数学美的内容与内在形式之间互相依存，互相渗透，而数学美的内容与外在形式之间也是辩证统一的关系。

【关键词】 数学美;内容;内在形式;外在形式;关系

数学美是科学创造自由的形式，它既是客观物质存在又是社会存在，同时还具有形象性。因而数学美和其他任何事物的存在与运动过程一样，也具有内容和形式两个方面。

数学美的内容是数学美存在和发展的内在方面或根本原因，指数学领域中构成数学美的基础要素的总和。包括数学结构美、数学理论美、数学公式美、数学思想方法美、数学思维美、数学符号美等，其中都表现着数的美、式的美、形的美。数学美的形式指构成数学美的基础要素之间的固有的联系、结构、组织，是自由形式的具体显现，包括简单、对称、和谐、普遍、奇异等。数学美的形式有两种，一种表现为数学美的存在和发展的方式、形态，可称之为内在形式，如简单、对称、和谐、普遍、奇异等;另一种表现为数学美存在和发展的感性外观，可称之为外在形式。数学美的内容通过内在形式或以内在形式为中介而与外在形式相联系，但这种联系没有必然性，也就是说，外在形式的美是以数学美的内容为前提。反之，没有反映出真的数学美内容，外在形式再美也无用，也就不会构成美的数学事实。

例如，泰勒公式

（c是在x与x0间的某个值）

它的美与其内在形式有密切关系，感性外观形式也很美，感性外观是数学美的必要条件。

事物都有内容和形式两个相互联系相互依存的方面，美也一样。美的形式是美的内容的转化形态，它是人类在长期生产劳动和社会实践过程中，积淀形成的美的事物，然后将美的事物物质形式转化为自由的形式。美的形式标志着人对客观世界所取得的自由程度和水准，表现了人的本质力量。这种自由形式又有感性形式和理性形式之分。一般来说，艺术美的形式多呈现出的是感性形式，表现了人的情感想象的自由形式，而科学美的形式则是理性抽象形式，是人的认识思维合规律性（即自由的）理性抽象形式。就艺术形式和科学形式而言，苏珊·朗格曾认为，艺术中抽象出来的“是那种能够表现动态的主观经验、生命的模式、感知、情绪、情感的复杂形式”，而科学、数学和逻辑中抽象出来的则“是那种帮助我们把握一般事实的理性推理形式”。但是，“不管是在艺术中，还是在逻辑中，‘抽象都是对某种结构或形式的认识”。[1]这就是说，艺术形式与科学形式既有共同之处，又有差别。最基本的共同点即艺术美和科学美都不是生活、物质世界的自然形式，而是经过了“抽象”之后的审美形式。中国戏剧表演中固定做程式、一组龙套，贝多芬第五交响乐，显示部中主部主题“命运”和副部主题“英雄”，两个音乐主题在全乐曲中反复出现，不就是抽象的具有理性化的形式表现着无限丰富、变化的感性内容吗？亚里士多德说过“美的主要形式‘秩序、匀称与明确”。[2]不错，就形式本身来说，无论是在艺术中还是科学中，美的形式都具有简洁、对称、秩序、规整、统一、协调等特点。在数学美中，这种美的形式常用抽象的数字、符号、公式、图形等形式加以表示。数学美正是在逻辑直观的抽象理性形式中积淀了无限丰富的感性内容，数学美的形式是抽象思维的产物，是在合规律性与合目的性相统一下建立起来的一种秩序。“秩序就意味着真理，意味着和谐，秩序就是简洁、就是美。”[3]

无论是艺术美还是科学美，在本质上和内在形式上是相同的，但是在外在形式上有着很大的差异性，从而对美的感知和欣赏就不同。数学美是一种科学美，对数学美的感知和欣赏必须首先理解其内容和内在形式，否则，即使是再美的数学公式或一些很美的结构式与表达式，不懂数学的人也无法感知到其美在何处，也不可能欣赏。例如，我们说欧拉公式很美，被誉为世界上最完美的数学公式之一，它把数学里最重要的五个数i、π、e、0、1，巧妙地统一在一起：eiπ+1=0。数学家高斯曾说：“一个人第一次看到这个公式而不感到它的魅力，他不可能成为数学家”。但就是这样具代表性的数学美的形式，可是对不懂数学的人来说，依然是无动于衷，无法想象到它的美。再如，欧拉发现的另一个公式v-e+f=2，它表示任何一个凸多面体的顶点数v、边数e、面数f之间的恒定关系式，同样，只有理解了其意义才会感到它的无限魅力。

数学独特的表达形式是自然世界及其客观规律的抽象，也是人类主体在使用劳动工具的基本操作过程中的一些形式（如次序、关系、排列）的抽象化（如可逆、不可逆、守恒、交换等）。数学的发生发展与人类从基本实践活动中获得的自由直观分不开，这种抽象的理性形式积淀着外在的劳动操作规律及其理性结果，它是人类特有的认识工具和符号语言。所以，数学美的形式是科学美的形式之核心与基础，正如苏珊·朗格所说：“只是在数学发展起来之后，抽象的逻辑形式才开始变得如此外露。它的外观是如此有趣，以至于使得许多逻辑学家不由自主地把自己的注意力转到了对形式本身的研究上来”[4]。

圆周长C=2πR，弧长L=2R，圆台体积…。

像这些数学美的形式表达中，基本上都是将一些数字和符号有秩序的排列组合成简洁的形式中，它们看似简洁但包含了现实世界中丰富的内容，这种符号间的和谐关系正是自然界客观规律性简洁而规范的概括，正好符合哲学意义上的真。这不正是美国美学家克莱夫·贝尔提出的美是“有意味的形式”吗！[5]

形式反映着内容，反之，内容也必须借助一定的形式而表达出来。如音乐的生命就在于节奏形式，像四二拍的曲子，以四分音符为一拍，一小节两拍，按第一拍强，第二拍弱的规律交替出现。达芬奇《最后的晚餐》所表现的十二门徒听了基督的话“你们中间有一个人要出卖我”以后的极大震动，情借骚乱的动势就是通过画面上耶稣居中，十二门徒分两边，三个一组，组成四个三角形，人物用手势相互照应连成一条波浪线显示出来。中国画的艺术表现形式，多用散点透视，画面出现近景、中景、远景多层次，近处山石见质，远处山形见势，用“分疆三选两段法”，地、树、山为三选，景为F，山在上，中间云雾断开，借助这种形式从而使自然风景在画面上活灵活现，栩栩如生。数学中也不例外，要表示数的大小不等关系就需借助形式a>b，三角形的面积s=（1/2）ab，整除m/n，同余，要表示命题及谓词演算就有数理逻辑的形式，把三角形内角之和等于180°，改写成（3-2）·180°的形成，便成为发现凸几边形内角之和为（n-2）·180°的台阶和诱因。解决数学问题过程的每一步，内容上的变化都有形式的变换相对应。整个数学没有一个不具形式的内容，也没有一处不反映内容的形式。[6]

总之，数学美内容和形式的关系，是辩证统一的。内容与内在形式之间互相依存，互相渗透，而内容与外在形式之间也是统一的，内容统摄外在形式，外在形式显现出内容，达到融会贯通。也就是说，由长期社会实践所造成的内容向形式的转化，内容积淀于形式之中数学美的内容与形式的关系决不是“内核”与“外亮”、人体与服装、商品与包装的关系，而是完全契合的辩论统一。只有这样，数学美的内容才不是某種本质的抽象，而是与形式相联系的具体，形式也不是单纯的空洞，而是与内容相联系的结构与外观，这才称得上数学美是自由的形式。

【参考文献】

[1] 苏珊·朗格著，藤守尧、朱疆源译.艺术问题[M].中国社会科学出版社，1983.168

[2] [古希腊]亚里士多德著，吴寿彭译.形而上学[M].商务印书馆，1959.265-266

[3] 赵鑫珊著.科学、艺术、哲学断思[M].新知三联书店，1985.18

[4] 苏珊·朗格著，藤守尧、朱疆源译.艺术问题[M].中国社会科学出版社，1983.167

[5] 克莱夫·贝尔著，周金环等译.艺术[M].中国文联出版公司，1984.7

[6] 张雄.数学：信息加工和信息转换的技术[J].自然辩证法研究，2000.8.

【作者简介】

张 雄（1961-）男，汉族，陕西商洛人，教授，渭南职业技术学院党委副书记、院长，中国高等教育学会教育数学专委会副理事长，研究方向：数学哲学、数学文化、数学美学、数学史与数学教育、职业教育等.