一类具有时滞的Brusselator模型的稳定性分析

杨晓燕， 王乔钰， 许慧洁， 易 秀

(兰州交通大学 数理学院，甘肃 兰州 730070)

Brusselator模型[1-3]是用来描述自催化反应的理论模型，为了使系统可以呈现更丰富的动力学行为，人们考虑延迟现象，由此建立了时滞微分方程[4-5]。时滞微分方程是用来描述事物不仅依赖于现在的状态，也依赖于过去的状态，它在物理、化学、生物等领域有着广泛的应用[6-7]。我们知道时滞微分方程的分支现象在动力系统研究中有着非常重要的研究价值和应用意义[8]。根据文献[9-11]，本文将考虑下面的时滞微分方程：

(1)

其中u、v分别表示化学反应物的有效浓度，t>0、τ>0为常数，假设参数a、b都是正常数。

1 平衡点的局部渐近稳定性和Hopf分支

系统(1)所对应的常微分系统为

(2)

容易知道，系统(2)有唯一的正平衡点E*=(u*，v*)=(1，1)。系统(2)在(u*，v*)的雅克比矩阵为

(3)

可以看出

b>0，-a2<0。

则

D∶= detJ=a2>0，T∶= traceJ=b-1-a2。

通过文献[10]的分析过程，我们有下面的结果：

令

b0=1+a2，

(4)

则当b=b0时，T=0且D>0。因此，可以得到下面的结论：

定理1 (1)如果0

(2)如果b>b0，那么系统(2)的正平衡点E*是不稳定的；

(3)如果b=b0，那么系统(2)在正平衡点E*附近出现Hopf分支。

在正平衡点E*处采用泰勒展开法线性化系统(1)，可得下面的线性系统：

应力腐蚀开裂的影响因素分别是：应力、环境、材料。油罐罐底在服役过程中所受应力情况十分复杂；由于长期处于罐底水的环境中，受罐底水中的酸度、矿化度和盐度的影响，其应力腐蚀敏感性很大，尤其是柳屯原油库的罐底水中Cl-的含量很高，很容易引起罐底的局部腐蚀，而局部腐蚀往往又是引起应力腐蚀的最基本前提，会增大罐底钢材的应力腐蚀开裂敏感性。因此，油罐在介质和应力的双重作用下必然会具有应力腐蚀倾向。在油罐的生产运行中，为延缓油罐罐底的腐蚀，经常对罐底实施阴极保护，而阴极极化电位大小也会影响应力腐蚀开裂的敏感性。

(5)

λ2+(a2-2b)λ-a2b+[(b+1)λ+a2(b+1)]e-λτ=0。

(6)

下面在条件00)，将其代入特征方程(6)可以得到：

-ω2+i(a2-2b)ω-a2b+[i(b+1)ω+a2(b+1)]e-iωτ=0,

将上面的方程分离实部和虚部，得

(a2-2b)ω=a2(b+1)sin(ωτ)-(b+1)ωcos(ωτ),

ω2+a2b=a2(b+1)cos(ωτ)+(b+1)ωsin(ωτ),

(7)

把方程(7)两边平方和相加可以得到

ω4+[a4-2a2b+3b2-2b-1]ω2+a4(-2b-1)=0,

(8)

因为a4(-2b-1)<0，则方程(8)有唯一的正根：

(9)

其中B=a4-2a2b+3b2-2b-1，C=-a4(2b+1)。

从方程(7)可以得到相应于ω的τ的值：

(10)

引理1 设λ(τ)=μ(τ)+iω(τ)是方程(6)在τ=τ0附近变化时且满足μ(τ0)=0，ω(τ0)=ω的根，则下面的横截性条件成立：

证明将方程(6)两边对τ微分可以得到

λ[(b+1)λ+a2(b+1)]e-λτ,

从而

根据方程(7)可以得到

由式(9)可知

代入上式，于是有

证明完毕。

根据引理1，可以得到下面的结论(参见文献[12])。

定理2 (1)如果0≤τ<τ0，则系统(1)的平衡点E*是局部渐近稳定的；

(2)如果τ>τ0，则系统(1)的平衡点E*是不稳定的；

(3)如果τ=τ0，则系统(1)在平衡点E*附近会出现Hopf分支;

其中ω由式(9)定义且τ由式(10)定义。

2 数值模拟

例1 在系统(2)中，取a=1，b=1.5，则a、b满足0

(a)正平衡点(1，1)局部渐近稳定 (b)正平衡点(1，1)附近出现Hopf分支

例2 在系统(1)中，根据定理2，取a=1，b=0.3，则τ0=0.877 6。参数a、b满足0

图2 当a=1，b=0.3，τ=0.85且初值是(1.1，1.1)时，系统(1)的相图

图3 当a=1，b=0.3，τ=0.9且初值是(2.2，2.2)和(0.8，0.7)时，系统(1)的相图

图4 当a=1，b=0.3，τ=0.9且初值是(1.1，1.1)时，系统(1)的相图

3 结论

本文主要研究时滞微分方程中平衡点的稳定性和Hopf分支的存在性。首先利用线性化方法得到系统的特征方程，通过分析常微分系统特征方程根的分布来判断平衡点的稳定性；其次在常微分稳定的情况下研究时滞微分方程中时间参数 对平衡点稳定性的影响；结果表明系统在临界值附近会出现Hopf分支。最后用数值模拟得到了理论验证。