立式捏合机搅拌桨尖混沌运动的可视化试验研究

张嘉琪，孟 洋，沈 凯，樊睿辰

(中国核动力研究设计院，成都 610041)

0 引言

双轴差速立式捏合机是固体推进剂药浆生产的关键设备，其混合作用的优劣将直接影响固体推进剂药浆的质量[1]。据现有捏合机设备混合机理的研究，表明混合釜流场为层流流场，流体具有流线不变性、时变性较差、粒子运动轨线不相交等特点。在工程中，常用双轴行星运动搅拌桨对固体推进剂药浆进行搅拌混合[2]。

国内外有部分学者对捏合机混合机理做出了研究，研究结果表明，双轴行星运动搅拌桨桨尖的运动轨迹具备混沌运动的特征，并且混沌运动是促进药浆混合的关键因素。但是，受制于固体推进剂药浆的易燃易爆性，在混合工艺过程中，只能通过捏合机混合釜的泄爆罩窗口观察药浆混合过程，对药浆混合过程中混沌作用的产生以及影响尚缺乏足够认识。

本文将针对双轴行星运动搅拌桨桨尖的运动轨迹进行分析，研究其在层流混合系统中的混沌行为，即遍历性、分叉与混沌表征，并通过流场示踪试验进行了验证分析。

1 双轴行星运动搅拌桨桨尖遍历特性

在层流混合系统中，由于混合流场内的流体受控于线性粘性力，流线保持不变，其时变性较差，粒子的运动轨线不相交，很难达到较优的混合效果[3]。根据Reynolds的研究成果，有效的层流混合是由于流体被反复的拉伸和折叠[4]。

在非线性动力学的研究领域内，示踪剂在流场区域反复拉伸和折叠的过程可通过Smale马蹄映射进行描述，拉伸和折叠过程使得示踪剂具有局部发散而整体在流场区域有界的特性，即Smale马蹄意义下的混沌[5]。流体混合需要物质线和面的充分拉伸和折叠，在两种流体需要充分混合而所需的能量要尽可能小的情况下，混沌则非常有效[6]。

*L双轴立式差速立式捏合机混合釜模型如图1所示。混合釜直径D=130 mm、高度H=108 mm，有效容积为*L。远心桨中心点为Ok，远心桨直径Dk=64 mm，远心桨螺旋角θk=π/4，偏心距为ek=29.5 mm；近心桨中心点为Os，近心桨直径Ds=64 mm，近心桨螺旋角θs=π/2.838，偏心距为es=14.75 mm；远心桨转速为ωk，近心桨转速为ωs，公转转速为ωH。设定远心桨和公转顺时针旋转、近心桨逆时针旋转时为正转，远心桨和公转逆时针旋转、近心桨顺时针旋转时为反转，远心桨转速、近心桨转速与公转转速的比例为：ωk=-2ωs=9.37ωH。同时，将迎向桨叶自转方向的桨叶曲面定义为迎料面，远离桨叶自转方向的桨叶曲面定义为背料面。远心桨桨尖距近心桨最小距离为c1=2 mm，距实验容器侧壁距离为c2=2 mm，距实验容器底面距离为c3=2 mm。

(a)Top view (b)Front view

远心桨、近心桨桨叶的三维数学模型分别为

(1)

式中ζ为远心桨或近心桨轴向投影的旋转角；θ为远心桨或近心桨的螺旋角[7]。

远心桨与近心桨既有自转又有公转，在实验容器径向截面中，依据相对运动原理建立笛卡尔直角坐标系XOY、XkOkYk、XsOsYs，远心桨桨叶桨尖Ik、Jk运动方程如下：

(2)

(3)

近心桨桨叶桨尖Is、Js运动方程如下：

(4)

(5)

当ωk=20 rpm，t=30 s时，远心桨桨尖Ik的运动轨迹如图2(a)所示，近心桨桨尖Is的运动轨迹如图2 (b)所示。

当ωk=20 rpm时，远心桨桨尖Ik、Jk与近心桨桨尖Is、Js在混合釜的运动轨迹见图3。可见，在时间t足够大的情况下，远心桨近心桨桨尖的运动轨迹可以遍历至整个混合釜平面位置。因此，可称双轴差速立式捏合机混合釜模型是遍历的。

2 混合釜模型Poincaré截面

结合式(1)、式(2)与式(3)，截取u=0截面，当ωk=20 rpm时，远心桨桨尖运动轨迹Poincaré截面见图4。结合式(1)、式(4)与式(5)，截取u=0截面，当ωk=20 rpm时，近心桨桨尖运动轨迹Poincaré截面见图5。

(a)Trajectory of the telecentric propeller tip Ik (b)Trajectory of the proximal propeller tip Is

(a)t=30 s (b)t=300 s (c)t=1000 s

(a)t=10 s (b)t=20 s (c)t=200 s (d)t=5000 s

(a)t=10 s (b)t=20 s (c)t=200 s (d)t=5000 s

分析图4、图5可知，随着时间t的增加，远心桨与近心桨桨尖运动轨迹Poincaré截面图内的离散点集中在某些特定区域，并不随时间t的增加而发生逃逸特定区域的状况，由此说明远心桨与近心桨桨尖的运动最终实现混沌运动。

根据Devaney对混沌的定义，混沌运动的本质特征是系统长期行为对初值的敏感依赖性。动力学系统的行为取决于两个因素：一个是系统的运行演化规律，在数学上表现为动力学方程；另一个是系统现在的状态，在数学上称为初始条件[8]。处于混沌状态的系统，运动轨道将敏感地依赖于初始条件。从两个及其邻近的初值出发的两条轨道，在短时间内似乎差距不大，但在足够长的时间以后，必然呈现出显著的差异。从长期行为看，初值的小改变在运动过程中不断被放大，导致轨道发生巨大偏差，即系统长期行为对初值的敏感依赖性[9]。

判断系统是否处于混沌运动可根据Poincaré截面法的定义：在多位相空间中适当选取一截面，在此截面上的某一对共轭变量取固定值作为Poincaré截面。观察运动轨迹Poincaré截面的交点，当Poincaré截面上只有一个不动点或少数离散点时，运动是周期运动；当Poincaré截面上是一封闭曲线时，运动是准周期运动；当Poincaré截面上是一些成片的密集点时，则为混沌运动。

对于双轴差速立式捏合机的远心桨与近心桨，其运动方式由自转和公转共同组成，桨叶桨尖在自转运动中做圆周运动，公转运动的存在将形成对桨尖运动轨迹的干扰，经过足够长的时间，桨尖运动最终实现混沌运动。为证明这一论点，排除桨叶的公转运动，考察远心桨桨叶自转运动时，远心桨桨尖运动的Poincaré截面如图6。同理，考察近心桨桨叶自转运动时，近心桨桨尖运动的Poincaré截面见图7。

(a)t=10 s (b)t=5000 s

由图6与图7可知，远心桨与近心桨在排除公转运动时，随着时间t的增加，其Poincaré截面为两条曲线，桨尖运动为准周期运动，无法实现混沌运动。因此，远心桨与近心桨的混沌运动是自转与公转共同作用才得以实现。又由图4(a)、图5(a)、图6(a)、图7(a)可知，在桨叶转动的初期，即时间t较小的时候，此时有无公转都对桨尖运动轨迹影响较小，桨尖运动轨迹的Poincaré截面均未呈现出混沌状态。但随着时间t的增加，即从公转的长期行为观察，公转对桨尖运动轨迹的影响不断被放大，使包含公转的桨尖运动轨迹的Poincaré截面最终实现了混沌现象。

(a)t=10 s (b)t=5000 s

3 混合釜流场示踪实验

本实验在中国航天科工集团某基地进行，实验设备为某小型立式捏合机。搅拌桨竖直安装，由近心桨与远心桨组成，由垂直升降系统带动与混合釜组成捏合机的搅拌系统。

混合釜采用透明的圆柱形亚克力材料制作，容器壁厚为3 mm，透光率可达92%，为减少光线在圆柱形容器侧壁的折射作用造成视觉偏差，从而影响实验结果，参考Nor Hanizah Shahirudin[10]和D J Lamberto[11]的解决办法：将圆柱形实验容器装入一个正方体有机玻璃容器内，两个容器之间注入透明的实验溶液。本实验制作了一个顶部开孔的亚克力材料方形罩，将混合釜模型固定在方形罩里面，混合釜模型与方形罩之间充满实验溶液。实验溶液选用甘油分析纯，24 ℃，甘油粘度μ=1.1 Pa·s，密度ρ=1200 kg/m3。示踪剂选用荧光素钠，荧光素钠在波长为362 nm的紫外线(UV)照射下可激发出黄绿色的荧光。

实验过程中保持24 ℃恒温，在实验之前将实验溶液静止放置12 h以消除溶液中混入的空气气泡。为保证示踪剂在流场内可保持良好的跟随性，示踪剂溶液由混入3%荧光素钠的甘油溶液制成。静止10 min后示踪剂并无明显的扩散作用，图8中混合釜顶部的示踪剂是取出注射器时形成的，并非是示踪剂的扩散，对实验结果没有影响。同时，为获得最好的示踪效果，实验过程中尝试了多个示踪剂的添加位置，例如混合釜顶部、底部、侧壁、中心等处，最终发现在混合釜底部和底部侧壁位置添加示踪剂的实验效果最为明显。用注射器各推入5 ml示踪剂到混合容器的底部中心与容器底部侧壁，将两个362 nm UV光源固定在容器左右两侧，如图8所示。

图8 示踪剂添加位置示意图

当远心桨自转转速ωk=20 rpm时，示踪剂运动的变化趋势如图9所示。桨叶旋转使迎料面产生向下的轴向速度，促使容器底部侧壁的示踪剂沿侧壁向上运动，底部中心的示踪剂沿底部向四周扩散，两处示踪剂均形成完整的流线。当远心桨桨叶运动到容器侧壁的示踪剂附近时，吸引示踪剂缠绕远心桨运动，运动到远心桨与近心桨之间的捏合区时，由于远心桨与近心桨具有2∶1的速度差，可以切断示踪剂完整的流线，产生剪切与折叠作用。随后，示踪剂受到桨叶迎料面向下轴向速度的影响，向容器底部运动，同时向四周扩散。

双轴行星运动搅拌桨在搅拌时，如图9(e)所示，远心桨与近心桨均可以对示踪剂进行拉伸，示踪剂缠绕在远心桨与近心桨周围。示踪剂在两桨叶之间的捏合区发生剪切与折叠作用，如图9(f)所示。在混合釜流场示踪实验中，示踪剂流线被远心桨与近心桨反复拉伸与折叠，最终散布于整个流场，在主观视觉上，此时示踪剂在混合釜流场内开始变得杂乱不堪，可以判断此时的混合釜流场处于混沌状态。

(a)t=1 s (b)t=5 s (c)t=10 s

(d)t=15 s (e)t=20 s (f)t=30 s

4 结论

(1)通过流体运动方程，将混合釜内流体流动问题转化为数学问题，建立了混合釜流场映射模型。

(2)通过对捏合机搅拌桨桨尖运动方程进行分析，证明了搅拌桨行星运动过程中，桨尖运动轨迹遍历整个混合釜流场。并通过搅拌桨桨尖运动轨迹的Poincaré截面图，发现桨尖运动轨迹的Poincaré截面图中的离散点密集的分布在某些固定的区域，由此判断搅拌桨桨尖运动为混沌运动。桨尖运动轨迹的Poincaré截面图中离散点的密集程度与搅拌时间和搅拌转速有关。

(3)通过混合釜流场示踪试验，验证了混合釜模型的混沌理论，两个搅拌桨的行星运动将使混合釜流场最终引发混沌运动。